【題目】若曲線f(x)= (e﹣1<x<e2﹣1)和g(x)=﹣x3+x2(x<0)上分別存在點(diǎn)A、B,使得△OAB是以原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且斜邊AB的中點(diǎn)在y軸上,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(e,e2)
B.(e, )
C.(1,e2)
D.[1,e)
【答案】B
【解析】解:設(shè)A(x1 , y1),y1=f(x1)= ,B(x2 , y2),y2=g(x2)=﹣x23+x22(x<0), 則 =0,x2=﹣x1 , ∴ .
, ,
由題意, ,即 =0,
∴ ,
∵e﹣1<x1<e2﹣1,
∴ ,
則 .
設(shè)h(x)= ,則h′(x)= ,
∵e﹣1<x<e2﹣1,
∴h′(x)>0,
即函數(shù)h(x)= 在(e﹣1<x<e2﹣1)上為增函數(shù),
則 ,
即e<a< .
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(e, ).
故選:B.
由題意設(shè)出A,B的坐標(biāo),代入函數(shù)解析式,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式把B的坐標(biāo)用A的坐標(biāo)表示,由 可得關(guān)于A的橫坐標(biāo)的方程,分離參數(shù)a后構(gòu)造函數(shù)h(x)= ,利用導(dǎo)數(shù)求其在(e﹣1<x<e2﹣1)上的單調(diào)性,得到函數(shù)的值域得答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率為的橢圓過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓方程;
(2)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O的直線,與該橢圓交于P、Q兩點(diǎn),直線OP、OQ的斜率依次為,滿足,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中,將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖,在陽(yáng)馬P﹣ABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,過(guò)棱PC的中點(diǎn)E,作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F,連接DE,DF,BD,BE.
(1)證明:PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑,若是,寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,說(shuō)明理由;
(2)若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為 ,求 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】17世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家們對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)于體積方法的問(wèn)題還不了解,他們將體積公式“V=kD3”中的常數(shù)k稱為“立圓術(shù)”或“玉積率”,創(chuàng)用了求“玉積率”的獨(dú)特方法“會(huì)玉術(shù)”,其中,D為直徑,類似地,對(duì)于等邊圓柱(軸截面是正方形的圓柱叫做等邊圓柱)、正方體也有類似的體積公式V=kD3 , 其中,在等邊圓柱中,D表示底面圓的直徑;在正方體中,D表示棱長(zhǎng),假設(shè)運(yùn)用此“會(huì)玉術(shù)”,求得的球、等邊圓柱、正方體的“玉積率”分別為k1 , k2 , k3=( )
A. : :1
B. : :2
C.1:3:
D.1: :
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|3x﹣1|﹣2|x|+2.
(1)解不等式:f(x)<10;
(2)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,f(x)﹣|x|≤a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,AB⊥AC,AB=AC= ,點(diǎn)E在AD上,且AE=2ED. (Ⅰ)已知點(diǎn)F在BC上,且CF=2FB,求證:平面PEF⊥平面PAC;
(Ⅱ)當(dāng)二面角A﹣PB﹣E的余弦值為多少時(shí),直線PC與平面PAB所成的角為45°?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】公元前3世紀(jì),古希臘歐幾里得在《幾何原本》里提出:“球的體積(V)與它的直徑(d)的立方成正比”,此即V=kd3 , 與此類似,我們可以得到: ⑴正四面體(所有棱長(zhǎng)都相等的四面體)的體積(V)與它的棱長(zhǎng)(a)的立方成正比,即V=ma3;
⑵正方體的體積(V)與它的棱長(zhǎng)(a)的立方成正比,即V=na3;
⑶正八面體(所有棱長(zhǎng)都相等的八面體)的體積(V)與它的棱長(zhǎng)(a)的立方成正比,即V=ta3;
那么m:n:t=( )
A.1:6 :4
B. :12:16
C. :1:
D. :6:4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為調(diào)查高中生的數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系,某重點(diǎn)高中數(shù)學(xué)教師對(duì)新入學(xué)的45名學(xué)生進(jìn)行了跟蹤調(diào)查,其中每周自主做數(shù)學(xué)題的時(shí)間不少于15小時(shí)的有19人,余下的人中,在高三模擬考試中數(shù)學(xué)平均成績(jī)不足120分的占 ,統(tǒng)計(jì)成績(jī)后,得到如下的2×2列聯(lián)表:
分?jǐn)?shù)大于等于120分 | 分?jǐn)?shù)不足120分 | 合 計(jì) | |
周做題時(shí)間不少于15小時(shí) | 4 | 19 | |
周做題時(shí)間不足15小時(shí) | |||
合 計(jì) | 45 |
(Ⅰ)請(qǐng)完成上面的2×2列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“高中生的數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”;
(Ⅱ)(i) 按照分層抽樣的方法,在上述樣本中,從分?jǐn)?shù)大于等于120分和分?jǐn)?shù)不足120分的兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生,設(shè)抽到的不足120分且周做題時(shí)間不足15小時(shí)的人數(shù)是X,求X的分布列(概率用組合數(shù)算式表示);
(ii) 若將頻率視為概率,從全校大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人,求這些人中周做題時(shí)間不少于15小時(shí)的人數(shù)的期望和方差.
附:
P(K2≥k0) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在(1,+∞)上單調(diào)遞增的為( )
A.y=ln(x2+1)
B.y=cosx
C.y=x﹣lnx
D.y=( )|x|
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