Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若在處的切線方程為，求實數(shù)，的值：

（2）求證：當時，在上有兩個極值點：

（3）設(shè)，若在單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍.（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）；.（2）見解析（3）

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)解析式，先求得導(dǎo)函數(shù)，將橫坐標帶入結(jié)合切線方程的斜率即可求得的值，進而可得切點坐標，將切點坐標代入切線方程即可得的值.

（2）令，再求得，由導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系可得的單調(diào)區(qū)間.由可得的最小值符號，再由及零點存在定理可判斷在有一個零點；表示出，并構(gòu)造函數(shù)，由的符號可得的單調(diào)遞減區(qū)間，根據(jù)零點存在定理可知在有一個零點，從而證明出結(jié)論.

（3）由題意可得的表達式，構(gòu)造函數(shù)，并求得，再構(gòu)造函數(shù)，并由的符號可判斷的單調(diào)情況，從而由的最值判斷出的符號，即可得的單調(diào)情況.對分類討論，從而由的符號得符合題意的的取值范圍.

（1）函數(shù).

則，

由條件知，所以，

，所以切點坐標為.

把代入，

解得.

（2）證明：令，

則，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

因為，所以.

又，所以在有一個零點.

又，

令，則，

所以在單調(diào)遞減，故，

即，所以在有一個零點.

于是可知：當時，，單調(diào)遞增；當時，

，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.

因此，在上有兩個極值點（在處取得極大值，在處取得極小值）.

（3），

令，

則，

令，當時，，

單調(diào)遞增，，

所以，在單調(diào)遞增，

于是可得，

①若，則，，

因為在單調(diào)遞減，

所以

，

令，

當時，，

故單調(diào)遞減，所以，解得，

②若，則，

，

因為在單調(diào)遞減，所以，

當，時，

，

所以，即，滿足題設(shè).

③若，則存在唯一確定的，使得.

當時，，即存在，，

但，這與在單調(diào)遞減矛盾，不合題意.

綜上所述，.