【題目】已知f(x)=x-(a>0),g(x)=2lnx+bx且直線y=2x-2與曲線y=g(x)相切.
(1)若對[1,+)內(nèi)的一切實數(shù)x,小等式f(x)≥g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=l時,求最大的正整數(shù)k,使得對[e,3](e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù))內(nèi)的任意k個實數(shù)x1,x2,,xk都有成立;
(3)求證:.
【答案】(1);(2)的最大值為.(3)見解析.
【解析】
試題(1)設(shè)點(diǎn)為直線與曲線的切點(diǎn),則有. (*)
,. (**)
由(*)、(**)兩式,解得,.
由整理,得,
,要使不等式恒成立,必須恒成立.
設(shè),,
,當(dāng)時,,則是增函數(shù),
,是增函數(shù),,
因此,實數(shù)的取值范圍是.
(2)當(dāng)時,,
,在上是增函數(shù),在上的最大值為.
要對內(nèi)的任意個實數(shù)都有
成立,必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值,
當(dāng)時不等式左邊取得最大值,時不等式右邊取得最小值.
,解得.
因此,的最大值為.
(3)證明(法一):當(dāng)時,根據(jù)(1)的推導(dǎo)有,時,,
即.
令,得,
化簡得,
.
(法二)數(shù)學(xué)歸納法:當(dāng)時,左邊=,右邊=,
根據(jù)(1)的推導(dǎo)有,時,,即.
令,得,即.
因此,時不等式成立.
(另解:,,,即.)
假設(shè)當(dāng)時不等式成立,即,
則當(dāng)時,,
要證時命題成立,即證,
即證.
在不等式中,令,得
.
時命題也成立.
根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法,可得不等式對一切成立.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(,為常數(shù))在內(nèi)有兩極值點(diǎn)
(1)求實數(shù)a的取值范圍;
(2)求證:.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“微信運(yùn)動”是手機(jī)推出的多款健康運(yùn)動軟件中的一款,大學(xué)生的微信好友中有400位好友參與了“微信運(yùn)動”.他隨機(jī)抽取了40位參與“微信運(yùn)動”的微信好友(女20人,男20人)在某天的走路步數(shù),經(jīng)統(tǒng)計,其中女性好友走路的步數(shù)情況可分為五個類別:、0~2000步,(說明:“0~2000”表示“大于或等于0,小于2000”,以下同理),、2000~5000步,、5000~8000步,、8000~10000步,、10000~12000步,且三種類別的人數(shù)比例為,將統(tǒng)計結(jié)果繪制如圖所示的柱形圖;男性好友走路的步數(shù)數(shù)據(jù)繪制如圖所示的頻率分布直方圖.
參與者 | 超越者 | 合計 | |
男 | 20 | ||
女 | 20 | ||
合計 | 40 |
若某人一天的走路步數(shù)大于或等于8000,則被系統(tǒng)認(rèn)定為“超越者”,否則被系統(tǒng)認(rèn)定為“參與者”.
(Ⅰ)若以大學(xué)生抽取的微信好友在該天行走步數(shù)的頻率分布,作為參與“微信運(yùn)動”的所有微信好友每天走路步數(shù)的概率分布,試估計大學(xué)生的參與“微信運(yùn)動”的400位微信好友中,每天走路步數(shù)在
(Ⅱ)若在大學(xué)生該天抽取的步數(shù)在8000~12000的微信好友中,按男女比例分層抽取9人進(jìn)行身體狀況調(diào)查,然后再從這9位微信好友中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行采訪,求其中至少有一位女性微信好友被采訪的概率;
(Ⅲ)請根據(jù)抽取的樣本數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否有的把握認(rèn)為“認(rèn)定類別”與“性別”有關(guān)?
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了改善空氣質(zhì)量,某市規(guī)定,從2018年1月1日起,對二氧化碳排放量超過的輕型汽車進(jìn)行懲罰性征稅.檢測單位對甲乙兩品牌輕型汽車各抽取5輛進(jìn)行二氧化碳排放量檢測,記錄如下:(單位:)
甲 | 80 | 110 | 120 | 140 | 150 |
乙 | 100 | 120 | 100 | 160 |
經(jīng)測算得乙品牌輕型汽車二氧化碳排放量的平均值為.
(1)求表中的值,并比較甲乙兩品牌輕型汽車二氧化碳排放量的穩(wěn)定性;
(2)從被檢測的5輛甲品牌汽車中隨機(jī)抽取2輛,求至少有1輛二氧化碳排放量超過的概率.(注:方差,其中為的平均數(shù)).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某運(yùn)動員每次投籃命中的概率都是40%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計該運(yùn)動員三次投籃恰有一次命中的概率:先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三個隨機(jī)數(shù)作為一組,代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù):907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989.據(jù)此估計,該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率為( )
A.0.25B.0.2C.0.35D.0.4
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市約有20萬住戶,為了節(jié)約能源,擬出臺“階梯電價”制度,即制定住戶月用電量的臨界值,若某住戶某月用電量不超過度,則按平價(即原價)0.5(單位:元/度)計費(fèi);若某月用電量超過度,則超出部分按議價(單位:元/度)計費(fèi),未超出部分按平價計費(fèi).為確定的值,隨機(jī)調(diào)查了該市100戶的月用電量,統(tǒng)計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖.根據(jù)頻率分布直方圖解答以下問題(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).
(1)若該市計劃讓全市的住戶在“階梯電價”出臺前后繳納的電費(fèi)不變,求臨界值;
(2)在(1)的條件下,假定出臺“階梯電價”之后,月用電量未達(dá)度的住戶用電量保持不變;月用電量超過度的住戶節(jié)省“超出部分”的,試估計全市每月節(jié)約的電量;
(3)在(1)(2)條件下,若出臺“階梯電價”前后全市繳納電費(fèi)總額不變,求議價.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為、,給出下列四個結(jié)論:
①;
②若為直角三角形,則;
③外接圓的方程為;
④直線的方程為.
其中所有正確結(jié)論的序號為( )
A.②④B.③④C.②③D.①②④
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,為兩非零有理數(shù)列(即對任意的,均為有理數(shù)),為一無理數(shù)列(即對任意的,為無理數(shù)).
(1)已知,并且對任意的恒成立,試求的通項公式.
(2)若為有理數(shù)列,試證明:對任意的,恒成立的充要條件為.
(3)已知,,對任意的,恒成立,試計算.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com