【題目】某地棚戶區(qū)改造建筑平面示意圖如圖所示,經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定,棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近似為圓面,該圓面的內(nèi)接四邊形是原棚戶區(qū)建筑用地,測量可知邊界萬米,萬米,萬米.
(1)請計算原棚戶區(qū)建筑用地的面積及的長;
(2)因地理條件的限制,邊界不能更改,而邊界可以調(diào)整,為了提高棚戶區(qū)建筑用地的利用率,請在圓弧上設(shè)計一點,使得棚戶區(qū)改造后的新建筑用地的面積最大,并求出最大值.
【答案】(1) 萬米. 萬平方米.
(2) 所求面積的最大值為萬平方米,此時點為弧ABC的中點.
【解析】試題分析:(1)利用圓內(nèi)接四邊形得到對角互補(bǔ),再利用余弦定理求出相關(guān)邊長,再利用三角形的面積公式和分割法進(jìn)行求解 ;(2)利用余弦定理和基本不等式進(jìn)行求解.
試題解析:(1)根據(jù)題意知,四邊形ABCD內(nèi)接于圓,∴∠ABC+∠ADC=180°.
在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,
即AC2=42+62-2×4×6×cos∠ABC.
在△ADC中,由余弦定理,得
AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC,即AC2=42+22-2×4×2×cos∠ADC.
又cos∠ABC=-cos∠ADC,
∴cos∠ABC=,AC2=28,即AC=2萬米,
又∠ABC∈(0,π),∴∠ABC=.
∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=×4×6×sin+×2×4×sin=8 (平方萬米).
(2)由題意知,S四邊形APCD=S△ADC+S△APC,
且S△ADC=AD·CD·sin=2 (平方萬米).
設(shè)AP=x,CP=y,則S△APC=xysin=xy.
在△APC中,由余弦定理,得AC2=x2+y2-2xy·cos=x2+y2-xy=28,
又x2+y2-xy≥2xy-xy=xy,
當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取等號,∴xy≤28.
∴S四邊形APCD=2+xy≤2+×28=9 (平方萬米),
故所求面積的最大值為9平方萬米,此時點P為的中點.
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【題目】已知橢圓的一個頂點為A(0,-1),焦點在x軸上。若右焦點F到直線x-y+2=0的距離為3。
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線y=kx+m(k≠0)與橢圓相交于不同的兩點M、N。當(dāng)|AM|=|AN|時,求m的取值范圍。
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【題目】已知函數(shù)在處的切線方程為
(1)求的解析式;
(2)若對任意的均有求實數(shù)k的取值范圍;
(3)設(shè)為兩個正數(shù),求證:
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【題目】已知,是平面,,是直線,給出下列命題:
①若,,則;
②若,,,,則;
③如果,,,是異面直線,則與相交;
④若.,且,,則,且
其中正確確命題的序號是_____(把正確命題的序號都填上)
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【題目】已知函數(shù),().
(1)當(dāng),且時,求的值域;
(2)若存在實數(shù)使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的離心率為,上頂點到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在過點的直線與橢圓交于不同的兩點,線段的中點為,使得?若存在,求直線的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】2015 年 12 月,華中地區(qū)數(shù)城市空氣污染指數(shù)“爆表”,此輪污染為 2015 年以來最嚴(yán)重的污染過程,為了探究車流量與的濃度是否相關(guān),現(xiàn)采集到華中某城市 2015 年 12 月份某星期星期一到星期日某一時間段車流量與的數(shù)據(jù)如表:
時間 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 | 星期六 | 星期日 |
車流量(萬輛) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
的濃度(微克/立方米) | 28 | 30 | 35 | 41 | 49 | 56 | 62 |
(1)由散點圖知與具有線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程;(提示數(shù)據(jù): )
(2)利用(1)所求的回歸方程,預(yù)測該市車流量為 12 萬輛時的濃度.
參考公式:回歸直線的方程是,
其中.
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【題目】中國古代的數(shù)學(xué)家們最早發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理,而最先對勾股定理進(jìn)行證明的是三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽.趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”,用數(shù)形結(jié)合的方法,給出了勾股定理的詳細(xì)證明。在這幅“勾股圓方圖”中,個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成一個大的正方形。若直角三角形的較小銳角的正切值為,現(xiàn)向該正方形區(qū)域內(nèi)投擲-枚飛鏢,則飛鏢落在小正方形內(nèi)(陰影部分)的概率是( )
A. B.
C. D.
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【題目】容器中盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球.
(1)“從8個球中任意取出1個,取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個,取出的還是白球”這兩個事件是否相互獨立?為什么?
(2)“從8個球中任意取出1個,取出的是白球”與“把取出的1個白球放回容器,再從容器中任意取出1個,取出的是黃球”這兩個事件是否相互獨立?為什么?
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