【題目】定義:由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的特征三角形.如果兩個橢圓的特征三角形是相似的,則稱這兩個橢圓是相似橢圓,并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比.已知橢圓

1)若橢圓,判斷是否相似?如果相似,求出的相似比;如果不相似,請說明理由;

2)寫出與橢圓相似且焦點在軸上、短半軸長為的橢圓的標準方程;若在橢圓上存在兩點、關(guān)于直線對稱,求實數(shù)的取值范圍;

3)如圖:直線與兩個相似橢圓分別交于點和點,試在橢圓和橢圓上分別作出點和點(非橢圓頂點),使組成以為相似比的兩個相似三角形,寫出具體作法.(不必證明)

【答案】1 相似比為23)詳見解析

【解析】

1)橢圓相似.

因為橢圓的特征三角形是腰長為4,底邊長為的等腰三角形,

而橢圓的特征三角形是腰長為2,底邊長為的等腰三角形,

因此兩個等腰三角形相似,且相似比為

2)橢圓的方程為:

設(shè),點,中點為,

,所以

因為中點在直線上,所以有,

即直線的方程為:

由題意可知,直線與橢圓有兩個不同的交點,

即方程有兩個不同的實數(shù)解,

所以,即

3)作法1:過原點作直線,交橢圓和橢圓于點和點,則即為所求相似三角形,且相似比為

作法2:過點A、點C分別做軸(或軸)的垂線,交橢圓和橢圓于點和點,則即為所求相似三角形,且相似比為

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