【題目】平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓)的左焦點(diǎn)為,離心率為,過(guò)點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于不同兩點(diǎn)、,求面積的最大值.

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析:(1)運(yùn)用橢圓的離心率公式和過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦長(zhǎng),結(jié)合 的關(guān)系列出關(guān)于 、的方程組,求出 、,可得橢圓的方程;(2)討論直線(xiàn)的斜率為和不為,設(shè)方程為,代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng),求出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離運(yùn)用三角形的面積公式,化簡(jiǎn)整理,運(yùn)用換元法和基本不等式,即可得到面積的最大值.

試題解析:(1)由題意可得, 令,可得,即有,

,所以,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(2)設(shè),,直線(xiàn)方程為,

代入橢圓方程,整理得,

,所以

當(dāng)且僅當(dāng),即.(此時(shí)適合的條件)取得等號(hào).

面積的最大值是

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線(xiàn)求最值,屬于難題.解決圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題一般有兩種方法:一是幾何意義,特別是用圓錐曲線(xiàn)的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解決,非常巧妙;二是將圓錐曲線(xiàn)中最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題,然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法,本題(2)就是用的這種思路,利用均值不等式法求三角形最值的.

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【題目】如圖,設(shè)橢圓 ,長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)與拋物線(xiàn) 的焦點(diǎn)重合,且橢圓的離心率是

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)過(guò)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn) 兩點(diǎn),過(guò)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)交橢圓于另一點(diǎn),求面積的最小值,以及取到最小值時(shí)直線(xiàn)的方程.

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【題目】如圖,在以、、、、為頂點(diǎn)的五面體中,平面平面,,四邊形為平行四邊形,且.

(1)求證:;

(2)若,直線(xiàn)與平面所成角為,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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【題目】已知橢圓)的左右焦點(diǎn)分別為,關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線(xiàn)上.

(1)求橢圓的離心率;

(2)若過(guò)焦點(diǎn)垂直軸的直線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)為,斜率為的直線(xiàn)交橢圓于,兩點(diǎn),問(wèn)是否存在定點(diǎn),使得,的斜率之和為定值?若存在,求出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖1,在平行四邊形中,,,分別為、的中點(diǎn),現(xiàn)把平行四邊形1沿折起如圖2所示,連接、、

(1)求證:;

(2)若,求二面角的正弦值.

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【題目】設(shè)函數(shù)(其中).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

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(1)若函數(shù)上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(2)若函數(shù)上存在兩個(gè)極值點(diǎn),證明: .

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【題目】若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是____

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【題目】如圖,在梯形中,,,,,四邊形是菱形,.

(Ⅰ)求證:;

(Ⅱ)求二面角的平面角的正切值.

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