Question

【題目】如圖，在梯形中，，，，，四邊形是菱形，.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的平面角的正切值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由勾股定理可得，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)有.由菱形的性質(zhì)可得，則平面，.

(Ⅱ)取的中點，連接，以、、分別為、、軸建立空間直角坐標系，據(jù)此計算可得平面的法向量，平面的法向量.

則二面角的平面角的余弦值，正切值為.

試題解析：

(Ⅰ)依題意，在等腰梯形中，，，

∵，∴即，

∵，∴，而，∴.

連接，∵四邊形是菱形，∴，

∴，∵，∴.

(Ⅱ)取的中點，連接，因為四邊形是菱形，且.

所以由平面幾何易知，∵，∴.

故此可以、、分別為、、軸建立空間直角坐標系，各點的坐標依次為：，，，，，.

設(shè)平面和平面的法向量分別為，，

∵，.

∴由 ，令，則，

同理，求得.

∴，故二面角的平面角的正切值為.