Question

【題目】如圖，在三棱柱中，已知側(cè)面，，，，點(diǎn)在棱上.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）試確定點(diǎn)的位置，使得二面角的余弦值為．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）點(diǎn)在的中點(diǎn).

【解析】

試題分析：(Ⅰ)首先根據(jù)余弦定理計(jì)算,在中滿足勾股定理，,然后根據(jù)題設(shè)所給的平面,得到,這樣就證明了線面垂直的條件；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC、BA、BC1兩兩垂直，以B為空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)，這樣設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求平面和平面的法向量，根據(jù)求，確定點(diǎn)E的位置.

試題解析：解：（Ⅰ）證明：∵BC=，CC1=BB1=2，∠BCC1=，在△BCC1中，由余弦定理，可求得C1B=，

∴C1B2+BC2=，即C1B⊥BC．

又AB⊥側(cè)面BCC1B1，故AB⊥BC1，又CB∩AB=B，所以C1B⊥平面ABC；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC、BA、BC1兩兩垂直，以B為空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則B（0，0，0），A（0，2，0），C（，0，0），C1（0，0，），B1（﹣，0，），

∴=（0，2，﹣），

設(shè)，則=+λ=（0，0，﹣）+λ（﹣，0，）=（﹣λ，0，﹣+λ）

設(shè)平面AC1E的一個(gè)法向量為=（x，y，z），由，得，

令z=，取=（，1，），

又平面C1EC的一個(gè)法向量為=（0，1，0）

所以cos＜，＞===，解得λ=．

所以當(dāng)λ=時(shí)，二面角A﹣C1E﹣C的余弦值為．