【題目】如圖1,在平行四邊形中,,,,、分別為、的中點(diǎn),現(xiàn)把平行四邊形1沿折起如圖2所示,連接、、.
(1)求證:;
(2)若,求二面角的正弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1)取的中點(diǎn),連接,,,根據(jù)條件可得,為正三角形,則,,可得平面從而得證;
(2)由勾股定理可得,以為原點(diǎn),以,,為軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得平面AB1C和平面A1B1A的法向量,由法向量求二面角的余弦即可,從而得正弦值.
試題解析:
證明:(1)取的中點(diǎn),連接,,,
∵在平行四邊形中,,,,
、分別為、的中點(diǎn),
∴,為正三角形,
則,,又∵,
∴平面,
∵平面
∴;
(2)∵,,,、分別為、的中點(diǎn),
∴,,
∵,則,
則三角形為直角三角形,則,
以為原點(diǎn),以,,為軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
則
則,,,
設(shè)平面的法向量為,
則,
令,則,,
則,
設(shè)平面的法向量為,則,
令,則,,即,
則
∴二面角的正弦值是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù). 若曲線y=在點(diǎn)P(e,f(e))處的切線方程為y=2x-e(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若,試比較與的大小,并予以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了推動數(shù)學(xué)教學(xué)方法的改革,學(xué)校將高一年級部分生源情況基本相同的學(xué)生分成甲、乙兩個班,每班各40人,甲班按原有模式教學(xué),乙班實(shí)施教學(xué)方法改革.經(jīng)過一年的教學(xué)實(shí)驗(yàn),將甲、乙兩個班學(xué)生一年來的數(shù)學(xué)成績?nèi)∑骄鶖?shù)再取整,繪制成如下莖葉圖,規(guī)定不低于85分(百分制)為優(yōu)秀,甲班同學(xué)成績的中位數(shù)為74.
(1)求的值和乙班同學(xué)成績的眾數(shù);
(2)完成表格,若有以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”的話,那么學(xué)校將擴(kuò)大教學(xué)改革面,請問學(xué)校是否要擴(kuò)大改革面?說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在處的切線與直線垂直,求的值;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;若存在極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了歲到歲之間的位網(wǎng)上購物者的年齡分布情況,并將所得數(shù)據(jù)按照,,,,分成組,繪制成頻率分布直方圖(如圖).
(1)求頻率分布直方圖中實(shí)數(shù)的值及這位網(wǎng)上購物者中年齡在內(nèi)的人數(shù);
(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從參與調(diào)查的位網(wǎng)上購物者中隨機(jī)抽取人,再從這人中任選人,設(shè)這人中年齡在內(nèi)的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓()的左焦點(diǎn)為,離心率為,過點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)、,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】響應(yīng)“文化強(qiáng)國建設(shè)”號召,某市把社區(qū)圖書閱覽室建設(shè)增列為重要的民生工程.為了解市民閱讀需求,隨機(jī)抽取市民200人做調(diào)查,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明,樣本中所有人每天用于閱讀的時間(簡稱閱讀用時)都不超過3小時,其頻數(shù)分布表如下:(用時單位:小時)
用時分組 | ||||||
頻數(shù) | 10 | 20 | 50 | 60 | 40 | 20 |
(1)用樣本估計(jì)總體,求該市市民每天閱讀用時的平均值;
(2)為引導(dǎo)市民積極參與閱讀,有關(guān)部門牽頭舉辦市讀書經(jīng)驗(yàn)交流會,從這200人中篩選出男女代表各3名,其中有2名男代表和1名女代表喜歡古典文學(xué).現(xiàn)從這6名代表中任選2名男代表和2名女代表參加交流會,求參加交流會的4名代表中,喜歡古典文學(xué)的男代表多于喜歡古典文學(xué)的女代表的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足().
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列?若存在,求出的值,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,已知,,底面,且,,為的中點(diǎn),在上,且.
(1)求證:平面平面;
(2)求證:平面;
(3)求三棱錐的體積.
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