Question

【題目】設(shè)函數(shù). 若曲線y=在點(diǎn)P(e,f(e))處的切線方程為y=2x-e（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，試比較與的大小，并予以證明.

Answer 1

【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2) 當(dāng)時(shí)，≥（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）.

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)f（x）的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）等價(jià)于證明f（a）+f（b）﹣2f（）＞0，變形表達(dá)式為，構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性使得最小值大于0即可.

解析：

（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

.

依題意得，即

所以.

所以，.

當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí), .

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是, 單調(diào)遞增區(qū)間是.

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，.

等價(jià)于，

也等價(jià)于

不妨設(shè)，

設(shè)（）,

則.

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，

即，

故當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.

令，則，

即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），

綜上所述，當(dāng)時(shí)，≥（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）.