【題目】已知函數(shù).

(1)設,求的最小值;

(2)證明:當時,總存在兩條直線與曲線都相切.

【答案】(1) x=-1時,F(x)取得最小值F(-1)=- (2) 見解析

【解析】試題分析:(1)對函數(shù)求導,研究函數(shù)的單調性,得到最小值;(2)根據公切線的定義得到(t-1)et1ta=0有兩個根即可,研究這個函數(shù)的單調性和圖像,得到這個圖像和x軸有兩個交點.

解析:

(Ⅰ)F(x)=(x+1)ex1,

x<-1時,F(x)<0,F(x)單調遞減;

x>-1時,F(x)>0,F(x)單調遞增,

x=-1時,F(x)取得最小值F(-1)=-

(Ⅱ)因為f(x)=ex1

所以f(x)=ex1在點(t,et1)處的切線為y=et1x+(1-t)et1;

因為g(x)=

所以g(x)=lnxa在點(m,lnma)處的切線為yx+lnma-1,

由題意可得則(t-1)et1ta=0.

h(t)=(t-1)et1ta,則h(t)=tet1-1

由(Ⅰ)得t<-1時,h(t)單調遞減,且h(t)<0;

t>-1時,h(t)單調遞增,又h(1)=0,t<1時,h(t)<0,

所以,當t<1時,h(t)<0,h(t)單調遞減;

t>1時,h(t)>0,h(t)單調遞增

由(Ⅰ)得h(a-1)=(a-2)ea2+1≥-+1>0,

h(3-a)=(2-a)e2a+2a-3>(2-a)(3-a)+2a-3=(a)2>0,

h(1)=a-1<0,所以函數(shù)yh(t)在(a-1,1)和(1,3-a)內各有一個零點,

故當a<1時,存在兩條直線與曲線f(x)g(x)都相切.

練習冊系列答案
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