【題目】如圖,設(shè)橢圓 ,長軸的右端點與拋物線 的焦點重合,且橢圓的離心率是

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)過作直線交拋物線, 兩點,過且與直線垂直的直線交橢圓于另一點,求面積的最小值,以及取到最小值時直線的方程.

【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)面積的最小值為9, .

【解析】試題分析:(Ⅰ)由已知求出拋物線的焦點坐標(biāo)即得橢圓中的,再由離心率可求得,從而得值,得標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)本題考查圓錐曲線中的三角形面積問題,解題方法是設(shè)直線方程為,設(shè),把直線方程代入拋物線方程,化為的一元二次方程,由韋達(dá)定理得,由弦長公式得,同樣過與直線垂直的直線方程為,同樣代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理得,其中, 點的橫坐標(biāo),于是可得,這樣就可用表示出的面積, ,接著可設(shè),用換元法把表示為的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的知識可求得最大值.

試題解析:

(Ⅰ)∵橢圓 ,長軸的右端點與拋物線 的焦點重合,

,

又∵橢圓的離心率是,∴,

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(Ⅱ)過點的直線的方程設(shè)為,設(shè), ,

聯(lián)立

,

且與直線垂直的直線設(shè)為,

聯(lián)立,

,故

,

面積

,則, ,

,則,即時, 面積最小,

即當(dāng)時, 面積的最小值為9,

此時直線的方程為

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(Ⅰ)求橢圓的方程;

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的50人進(jìn)行了問卷調(diào)查,得到了如下的列聯(lián)表:

患心肺疾病

不患心肺疾病

合計

20

5

25

10

15

25

合計

30

20

50

(1)用分層抽樣的方法在患心肺疾病的人群中抽取6人,其中男性抽多少人?

(2)在上述抽取的6人中選2人,求恰有一名女性的概率;

(3)為了研究心肺疾病是否與性別有關(guān),請計算出統(tǒng)計量,判斷是否有的把握認(rèn)為

患心肺疾病與性別有關(guān)?

右面的臨界值表供參考:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(參考公式:

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(Ⅰ)求證: ;

(Ⅱ)求二面角的余弦值.

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