Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求的極值；

（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，且滿足，問：函數(shù)在處的切線能否平行于軸？若能，求出該切線方程，若不能，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）極小值，極大值（2）（3）不能平行于軸，詳見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求得極值；

（2）根據(jù)恒成立，分離參數(shù)，利用均值不等式求得最值即可；

（3）根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為方程是否有根的問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可容易判斷.

（1）由已知，，令，

得，或，

令，則，，則，

故在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，

故可得極小值，極大值.

（2），.

由題意，知恒成立，即.

又，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

故，所以.

（3）設(shè)在的切線平行于軸，

其中

結(jié)合題意，

；，

相減得

又，

∴，又，

所以.

設(shè)，.

設(shè)，

，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

因此，，

即.

也就是，，

所以無解.

所以在處的切線不能平行于軸.