Question

已知a＞0，函數f(x)=ax-bx².?

(1)當b＞0時，若對任意x∈R都有f(x)≤1，證明a≤2;??

(2)當b＞1時，證明對任意x∈［0，1］，|f(x)|≤1的充要條件是b-1≤a≤2;?

(3)當0＜b≤1時，討論對任意x∈［0，1］，|f(x)|≤1的充要條件.

Answer 1

（1）證明：依題設，對任意x∈R，都有f(x)≤1.?

∵f(x)=-b(x-)²+,?

∴f()=≤1.?

又∵a＞0,b＞0,∴a≤2.?

（2）證明：必要性：對任意x∈［0，1］，?|f(x)|≤1f(x)≥-1，?

據此可推出f(1)≥-1,?

即a-b≥-1,?

∴a≥b-1.?

對任意x∈［0，1］，|f(x)|≤1f(x)≤1?,?

∵b＞1，可以推出f()≤1,?

即a·-1≤1,∴a≤2.?

∴b-1≤a≤2.?

充分性：∵a＞1，a≥b-1,對任意?x∈?［0，1］，可以推出?

ax-bx²≥b(x-x²)-x≥-x≥-1,?

即ax-bx²≥-1.?

∵b＞1，a≤2b,對任意x∈［0，1］，可以推出ax-bx²≤2bx-bx²≤1,即ax-bx²≤1,

∴-1≤f(x)≤1.?

綜上，當b＞1時，對任意x∈［0，1］，|f(x)|≤1的充要條件是b-1≤a≤2.?

（3）解析:因為a＞0,0＜b≤1時，對任意x∈［0，1］，有f(x)=ax-bx²≥-b≥-1,即f(x)≥-1;f(x)≤1f(1)≤1a-b≤1,即a≤b+1;a≤b+1f(x)≤(b+1)x-bx²≤1,即f(x)≤1.?

所以，當a＞0,a＜b≤1時，對任意?x∈［0，1］，|f(x)|≤1的充要條件為a≤b+1.