Question

已知a＞0，函數(shù)f(x)=

|x-2a|

x+2a

在區(qū)間[1，4]上的最大值等于

1

2

，則a的值為

 

．

Answer 1

分析：討論x-2a在區(qū)間[1，4]上恒大于零？恒小于零？既有大于零又有小于零？對(duì)應(yīng)的f（x）的最大值是什么，求出a的值．

解答：解：（1）當(dāng)x-2a在區(qū)間[1，4]上恒大于零時(shí)，
∵x-2a＞0，∴a＜

x

2

；
當(dāng)x=1時(shí)，滿(mǎn)足x-2a在[1，4]上恒大于零，即a＜

1

2

；
此時(shí)函數(shù)f（x）=

x-2a

x+2a

=1-

4a

x+2a

，
該函數(shù)在定義域[1，4]上為增函數(shù)，在x=4時(shí)，取最大值f（4）=

1

2

，
∴a=

2

3

，不滿(mǎn)足a＜

1

2

的假設(shè)，舍去．
（2）當(dāng)x-2a在區(qū)間[1，4]上恒小于零時(shí)，
∵x-2a＜0，∴a＞

x

2

；
當(dāng)x=4時(shí)，滿(mǎn)足x-2a在[1，4]上恒小于零，即a＞2；
此時(shí)函數(shù)f（x）=

-(x-2a)

x+2a

=

4a

x+2a

-1，
該函數(shù)在定義域[1，4]上為減函數(shù)，在x=1時(shí)，取最大值f（1）=

1

2

，
∴a=

3

2

，不滿(mǎn)足a＞2的假設(shè)，舍去．
（3）由前面討論知，當(dāng)

1

2

＜a＜2時(shí)，x-2a在區(qū)間[1，4]上既有大于零又有小于零時(shí)，
①當(dāng)x＜2a時(shí)，x-2a＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）=

4a

x+2a

-1在[1，2a）上為減函數(shù)，在x=1時(shí)，取到最大值f（1）=

1

2

；
②當(dāng)x＞2a時(shí)，x-2a＞0．此時(shí)函數(shù)f（x）=1-

4a

x+2a

在（2a，4]時(shí)為增函數(shù)，在x=4時(shí)，取到最大值f（4）=

1

2

；
總之，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間[1，4]上先減后增，在端點(diǎn)處取到最大值；
當(dāng)函數(shù)在x=1處取最大值時(shí)，解得a=

3

2

，此時(shí)函數(shù)f（x）=

|x-3|

x+3

，將函數(shù)的另一個(gè)最大值點(diǎn)x=4代入得：
 f（4）=

1

7

，
∵f（1）＞f（4），∴滿(mǎn)足條件；
當(dāng)函數(shù)在x=4處取最大值時(shí)，解得a=

2

3

，此時(shí)函數(shù)f（x）=

|x- 4 3 |

x+ 4 3

，將函數(shù)的另一個(gè)最大值點(diǎn)x=1代入得：
f（1）=

1

7

，
∵f（1）＜f（4），∴滿(mǎn)足條件；
∴a=

2

3

或a=

3

2

；
故答案為：

2

3

或

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了含有絕對(duì)值的函數(shù)在某一閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，是易錯(cuò)題．