Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為l，若l與圓（x+1）²+y²=1相切，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)進行求導，根據(jù)導函數(shù)大于0原函數(shù)單調(diào)遞增，導函數(shù)小于0原函數(shù)單調(diào)遞減可得答案．
（2）欲求在點（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數(shù)求出在x=1處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率． 最后利用點到直線的距離公式，從而問題解決．

解答：解：（1）解：函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax的定義域為（-∞，2）
函數(shù)的導函數(shù)為y′=

1

x-2

+a，
要求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即是求出y′＞0即可，
y′=

1

x-2

+a＞0，解得x＜2-

1

a

，
可知函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，2-

1

a

)，
同理得：函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax的單調(diào)遞減區(qū)間(2-

1

a

，2)．
（2）由于f/(x)=

1

x-2

+a，
l的方程為（a-1）x-y+1=0     
由點到直線的距離公式得：a=1．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、導函數(shù)的正負和原函數(shù)的增減性的關(guān)系．屬基礎(chǔ)題，考查運算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．