Question

【題目】已知橢圓C：（）的短軸長和焦距相等，左、右焦點分別為、，點滿足：.已知直線l與橢圓C相交于A，B兩點.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若直線l過點，且，求直線l的方程；

（3）若直線l與曲線相切于點（），且中點的橫坐標等于，證明：符合題意的點T有兩個，并任求出其中一個的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）證明見解析；其中一個的坐標為

【解析】

（1）根據(jù)題意計算得到，，解得答案.

（2）設(shè)，，由題意，則可設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達定理得到，，代入計算得到答案.

（3）設(shè)，，設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程得到，根據(jù)切線方程得到，根據(jù)對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性得到答案.

（1）設(shè)橢圓C焦距為，因為橢圓C的短軸長和焦距相等，

所以，①，

因為，所以點Q在橢圓C上，

將代入得：②，

由①②解得：，，所以橢圓C的方程為，

（2）設(shè)，，由題意，則可設(shè)直線l的方程為：，

由得：，

所以，，

又因為，所以，，

所以，解得：，，

所以，

所以，解得：，

所以直線l的方程為：或.

（3）設(shè)，，由題意直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：，

由得：，則，

因為直線l與曲線相切于點（），

所以，，所以，

整理得，

令（），所以，

因為在上單調(diào)遞增；且，，

所以，存在（）使得.

因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，

又因為，所以，，

又因為，

因此除零點外，在上還有一個零點，

所以，符合題意的點T有兩個，其中一個的坐標為.