【題目】已知等比數(shù)列的前項和為，且函數(shù)，若方程至少有三個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

由等比數(shù)列前項和的性質(zhì)，求得參數(shù)，再將方程根的個數(shù)的問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點個數(shù)的問題，利用導數(shù)求得直線與函數(shù)相切時的斜率，即可求得參數(shù)的范圍.

因為等比數(shù)列的前項和為

根據(jù)等比數(shù)列前項和的性質(zhì)，容易知，解得.

令，則

方程至少有三個實數(shù)根

等價于至少有三個實數(shù)根，

也等價于函數(shù)與直線有至少三個交點，

又是斜率為，且恒過的直線，

故只需求出函數(shù)與直線有三個交點的臨界狀態(tài)時，對應直線的斜率即可.

則在同一直角坐標系下畫出函數(shù)圖像如下所示：

由圖可知，當直線與相切時，恰有三個交點，

設(shè)切點為，，故過切點的切線方程為：

，又因為，且該切線過點

故可得

即，解得，

故切點為，此時直線的斜率為

此時有三個交點，故可取；

又根據(jù)圖象可知，當直線過點時，也是臨界狀態(tài)，

此時直線的斜率為

此時有三個交點，故可取；

綜上所述，要滿足題意，只需即可.

故選：C.

練習冊系列答案
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