【題目】在四棱錐中,底面為平行四邊形,平面平面,是邊長為4的等邊三角形,,是的中點.
(1)求證:;
(2)若直線與平面所成角的正弦值為,求平面 與平面所成的銳二面角的余弦值.
【答案】(1)見證明;(2)
【解析】
(1)由面面垂直的性質可得平面.可得 ,,結合得平面.由,可得,得到平面,從而可得結果;(2)根據(jù)直線與平面所成角的正弦值為,可求得, ,以,,所在的直線分別為,,軸,建立空間直角坐標系,利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求出平面的一個法向量,結合平面的一個法向量為,利用空間向量夾角余弦公式可得結果.
(1)因為是等邊三角形,是的中點,
所以.
又平面平面,平面平面,平面,
所以平面.
所以,
又因為,,
所以平面.所以.
又因為,所以.
又且,平面,所以平面.
所以.
(2)
由(1)得平面.
所以就是直線與平面所成角.
因為直線與平面所成角的正弦值為,即,所以.
所以,解得.則.
由(1)得,,兩兩垂直,所以以為原點,,,所在的直線分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則點,, ,,
所以,.
令平面的法向量為,則
由得解得
令,可得平面的一個法向量為;
易知平面的一個法向量為,
設平面與平面所成的銳二面角的大小為,則.
所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知命題,;命題關于的方程有兩個相異實數(shù)根.
(1)若為真命題,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若為真命題,為假命題,求實數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱柱中,側棱底面,平面,,,,,為棱的中點.
(1)證明:;
(2)求二面角的平面角的正弦值;
(3)設點在線段上,且直線與平面所成角的正弦值為,求線段的長.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某工廠的檢驗員為了檢測生產(chǎn)線上生產(chǎn)零件的情況,從產(chǎn)品中隨機抽取了個進行測量,根據(jù)所測量的數(shù)據(jù)畫出頻率分布直方圖如下:
如果:尺寸數(shù)據(jù)在內的零件為合格品,頻率作為概率.
(1)從產(chǎn)品中隨機抽取件,合格品的個數(shù)為,求的分布列與期望:
(2)為了提高產(chǎn)品合格率,現(xiàn)提出,兩種不同的改進方案進行試驗,若按方案進行試驗后,隨機抽取件產(chǎn)品,不合格個數(shù)的期望是:若按方案試驗后,抽取件產(chǎn)品,不合格個數(shù)的期望是,你會選擇哪個改進方案?
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】“微信搶紅包”自2015年以來異;鸨谀硞微信群某次進行的搶紅包活動中,若所發(fā)紅包的總金額為10元,被隨機分配為1元,2.5元,3元,3.5元,共4份,供甲、乙等4人搶,每人只能搶一次,則甲、乙二人搶到的金額之和不低于6元的概率是__________.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,過其焦點的直線與拋物線相交于、兩點,滿足.
(1)求拋物線的方程;
(2)已知點的坐標為,記直線、的斜率分別為,,求的最小值.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com