【題目】如圖所示，在四棱柱中，側(cè)棱底面，平面，，，，，為棱的中點(diǎn).

（1）證明：；

（2）求二面角的平面角的正弦值；

（3）設(shè)點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出，可證明出；

（2）計(jì)算出平面和平面的法向量、，然后利用空間向量法計(jì)算出二面角的余弦定理，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得出其正弦值；

（3）設(shè)，計(jì)算出，利用空間向量法并結(jié)合條件直線與平面所成角的正弦值為，求出的值，即可求出.

（1）如圖所示，以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

依題意得，，，，，.

易得，，于是，所以；

（2）易得.設(shè)平面的法向量為，,

則，

消去，得，不妨取，可得法向量.

由（1）知，又，可得平面，

故為平面的一個(gè)法向量.

于是，從而，

故二面角的平面角的正弦值為；

（3）易得，.

設(shè)，，則有，

可取為平面的一個(gè)法向量，

設(shè)為直線與平面所成的角，

則，

于是（舍去），則，

所以.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的一個(gè)側(cè)面為等邊三角形，且平面平面，四邊形是平行四邊形，，，.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列命題中：

①若樣本數(shù)據(jù)的方差為16，則數(shù)據(jù)的方差為64；

②“平面向量夾角為銳角，則”的逆命題為真命題；

③命題“，”的否定是“，”；

④若：，，則是的充分不必要條件.

真命題的個(gè)數(shù)序號(hào)_________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，平面平面ABCD，為等腰直角三角形，，，點(diǎn)E，F分別為BC，PD的中點(diǎn)，直線PC與平面AEF交于點(diǎn)Q.

（1）若平面平面，求證：.

（2）求直線AQ與平面PCD所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，橢圓C：（），，分別是橢圓C的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)D在橢圓上，且，，的面積為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過(guò)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)A，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)和這個(gè)常數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面平面，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，，是的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求平面 與平面所成的銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)為實(shí)數(shù))的圖像在點(diǎn)處的切線方程為.

（1）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)，證明時(shí)， .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若，討論的單調(diào)性；

（2）若，且對(duì)于函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)， ，存在，使得函數(shù)的圖象在處的切線.求證；.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)，命題p：函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；q：函數(shù)僅在處有極值.

（1）若命題q是真命題，求a的取值范圍；

（2）若命題是真命題，求a的取值范圍.

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