Question

【題目】如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側棱底面．已知是的中點， ．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求證：∥平面；

（Ⅲ）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析 （Ⅱ）見解析（Ⅲ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由， 及,可證平面．即可證明

平面平面；

（Ⅱ）證明．又因為平面， 平面，所以∥平面

（Ⅲ）由即可求得三棱錐的體積．

試題解析：

（Ⅰ）證明：由已知為正三角形，且D是BC的中點，

所以．

因為側棱底面， ，

所以底面．

又因為底面，所以.

而,

所以平面．

因為平面，所以平面平面．

（Ⅱ）證明：連接，設，連接．

由已知得，四邊形為正方形，則為的中點.

因為是的中點，所以．

又因為平面， 平面，

所以∥平面

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知∥平面，

所以與到平面的距離相等，

所以．

由題設及，得，且．

所以，

所以三棱錐的體積為．