【題目】設(shè)數(shù)列滿足,其中,且, 為常數(shù).

(1)若是等差數(shù)列,且公差,求的值;

(2)若,且存在,使得對(duì)任意的都成立,求的最小值;

(3)若,且數(shù)列不是常數(shù)列,如果存在正整數(shù),使得對(duì)任意的均成立. 求所有滿足條件的數(shù)列的最小值.

【答案】(1)(2)(3)3

【解析】試題分析:(1)利用等差數(shù)列定義將條件轉(zhuǎn)化為公差關(guān)系,解方程可得的值;(2)先求的值;即得數(shù)列為等比數(shù)列,分離變量將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題: ,即, 最大值,再根據(jù)數(shù)列單調(diào)性確定最大值,即得的最小值;(3)本題由于求周期最小值,可以從小逐個(gè)驗(yàn)證即可: 為常數(shù)列,舍去; 時(shí),可推得,舍去; 時(shí),可取一個(gè)數(shù)列滿足條件.

試題解析:解:(1)由題意,可得,

化簡(jiǎn)得,又,所以.

(2)將代入條件,可得,解得,

所以,所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比的等比數(shù)列,所以.

欲存在,使得,即對(duì)任意都成立,

,所以對(duì)任意都成立.

,則

所以當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí),

所以的最大值為,所以的最小值為.

(3)因?yàn)閿?shù)列不是常數(shù)列,所以

①若,則恒成立,從而, ,所以,

所以,又,所以,可得是常數(shù)列.矛盾.

所以不合題意.

②若,取(*),滿足恒成立.

,得

則條件式變?yōu)?/span>

,知;

,知;

,知

所以,數(shù)列(*)適合題意.

所以的最小值為.

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