【題目】已知點F為拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點,點A(2,m)在拋物線E上,且|AF|=3,
(1)求拋物線E的方程;
(2)已知點G(﹣1,0),延長AF交拋物線E于點B,證明:以點F為圓心且與直線GA相切的圓,必與直線GB相切.
【答案】(1)y2=4x;(2)證明見解析
【解析】
(1)由拋物線定義可得:|AF|=23,解得p.即可得出拋物線E的方程.
(2)由點A(2,m)在拋物線E上,解得m,不妨取A,F(1,0),可得直線AF的方程,與拋物線方程聯(lián)立化為2x2﹣5x+2=0,解得B.又G(﹣1,0),計算kGA,kGB,可得kGA+kGB=0,∠AGF=∠BGF,即可證明以點F為圓心且與直線GA相切的圓,必與直線GB相切.
解法一:(1)由拋物線定義可得:|AF|=23,
解得p=2.
∴拋物線E的方程為y2=4x;
(2)∵點A(2,m)在拋物線E上,
∴m2=4×2,
解得m,
不妨取A,F(1,0),
∴直線AF的方程:y=2(x﹣1),
聯(lián)立,化為2x2﹣5x+2=0,
解得x=2或,B.
又G(﹣1,0),
∴kGA.kGB,
∴kGA+kGB=0,
∴∠AGF=∠BGF,∴x軸平分∠AGB,
因此點F到直線GA,GB的距離相等,
∴以點F為圓心且與直線GA相切的圓,必與直線GB相切.
解法二:(1)同解法一.
(2)點A(2,m)在拋物線E上,
∴m2=4×2,解得m,不妨取A,F(1,0),
∴直線AF的方程:y=2(x﹣1),
聯(lián)立,化為2x2﹣5x+2=0,
解得x=2或,B.
又G(﹣1,0),
可得直線GA,GB的方程分別為:x﹣3y+20,0,
點F(1,0)到直線GA的距離d,
同理可得點F(1,0)到直線GB的距離.
因此以點F為圓心且與直線GA相切的圓,必與直線GB相切.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,求曲線在點處切線的方程;
(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)當時,恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校100名學生期中考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區(qū)間如下:
組號 | 第一組 | 第二組 | 第三組 | 第四組 | 第五組 |
分組 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
(1)求圖中a的值;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計這100名學生期中考試數(shù)學成績的平均分;
(3)現(xiàn)用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機抽取6名學生,將該樣本看成一個總體,從中隨機抽取2名,求其中恰有1人的分數(shù)不低于90分的概率.
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【題目】如圖,已知鈍角△ABC中,∠B-∠C=90°,∠C=θ,其外接圓⊙O的半徑為R.AD是⊙O的一條直徑,過點D作⊙O的切線與BC的延長線交于H,過點D作BA的平行線交AC的延長線于E,交過D、O、H的圓于G,聯(lián)結(jié)GH、EH.求△EGH的面積.
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【題目】如圖,在三棱錐中,平面平面,為棱上的一點,且,為棱的中點,為棱上的一點,若平面,是邊長為4的正三角形,,.
(1)求證:平面平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知曲線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)),點.以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為.
(1)試判斷點是否在直線上,并說明理由;
(2)設(shè)直線與曲線交于點,,求的值.
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【題目】2021年開始,我省將試行“3+1+2“的普通高考新模式,即除語文、數(shù)學、外語3門必選科目外,考生再從物理、歷史中選1門,從化學、生物、地理、政治中選2門作為選考科目.為了幫助學生合理選科,某中學將高一每個學生的六門科目綜合成績按比例均縮放成5分制,繪制成雷達圖.甲同學的成績雷達圖如圖所示,下面敘述一定不正確的是( 。
A.甲的物理成績領(lǐng)先年級平均分最多
B.甲有2個科目的成績低于年級平均分
C.甲的成績從高到低的前3個科目依次是地理、化學、歷史
D.對甲而言,物理、化學、地理是比較理想的一種選科結(jié)果
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【題目】年月日,某地援鄂醫(yī)護人員,,,,,,人(其中是隊長)圓滿完成抗擊新冠肺炎疫情任務(wù)返回本地,他們受到當?shù)厝罕娕c領(lǐng)導的熱烈歡迎.當?shù)孛襟w為了宣傳他們的優(yōu)秀事跡,讓這名醫(yī)護人員和接見他們的一位領(lǐng)導共人站一排進行拍照,則領(lǐng)導和隊長站在兩端且相鄰,而不相鄰的排法種數(shù)為( )
A.種B.種C.種D.種
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【題目】甲、乙兩隊進行籃球決賽,采取五場三勝制(當一隊贏得三場勝利時,該隊獲勝,比賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績,甲隊的主客場安排依次為“主主客客主”.設(shè)甲隊主場取勝的概率為,客場取勝的概率為,且各場比賽結(jié)果相互獨立,則甲隊不超過場即獲勝的概率是( )
A.B.C.D.
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