【題目】已知拋物線y2=4x的焦點為F,過點F的直線交拋物線于A,B兩點.
(1)若 =3 ,求直線AB的斜率;
(2)設點M在線段AB上運動,原點O關于點M的對稱點為C,求四邊形OACB面積的最小值.

【答案】
(1)

解:由拋物線y2=4x的焦點在x軸上,焦點坐標F(1,0),

設直線AB的方程為:x=my+1,

,整理得:y2﹣4my﹣4=0,

設A(x1,y1),B(x2,y2),

由韋達定理可知:y1+y2=4m,y1y2=﹣4,

=(1﹣x1,﹣y1), =(x2﹣1,y2),

=3 ,

∴﹣y1=3y2,整理得:m2= ,解得:m=± ,

∴直線AB的斜率k=

直線AB的斜率 或﹣


(2)

解:由(1)可知:丨y1﹣y2丨= = =4 ,

四邊形OACB面積SOACB=2SAOB= 丨OF丨丨y1﹣y2丨=丨y1﹣y2丨=4 ≥4,

當m=0時,四邊形OACB的面積最小,最小值為4.


【解析】(1)由題意可知:設直線AB的方程為:x=my+1,代入拋物線方程,由韋達定理可知:y1+y2=4m,y1y2=﹣4,則 =(1﹣x1 , ﹣y1), =(x2﹣1,y2),由 =3 ,﹣y1=3y2 , 解得:m=± ,即可求得直線AB的斜率;(2)由(1)可知:丨y1﹣y2丨= = =4 ,則四邊形OACB面積SOACB=2SAOB= 丨OF丨丨y1﹣y2丨=丨y1﹣y2丨,即可求得4 ≥4,當m=0時,四邊形OACB的面積最小,最小值為4.

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A.
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C.
D.

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用煤/噸

用電/千瓦

產值/萬元

甲種產品

7

2

8

乙種產品

3

5

11

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