Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知F1 ， F2分別是橢圓E： 的左、右焦點(diǎn)，A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，且 ．

（1）求橢圓E的離心率；
（2）已知點(diǎn)D（1，0）為線(xiàn)段OF2的中點(diǎn)，M 為橢圓E上的動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)A、B），連接MF1并延長(zhǎng)交橢圓E于點(diǎn)N，連接MD、ND并分別延長(zhǎng)交橢圓E于點(diǎn)P、Q，連接PQ，設(shè)直線(xiàn)MN、PQ的斜率存在且分別為k1、k2 ， 試問(wèn)是否存在常數(shù)λ，使得k1+λk2=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∴ ．

∴a+c=5（a﹣c），化簡(jiǎn)得2a=3c，

故橢圓E的離心率為

（2）解：存在滿(mǎn)足條件的常數(shù)λ， ．

∵點(diǎn)D（1，0）為線(xiàn)段OF2的中點(diǎn)，∴c=2，從而a=3， ，

左焦點(diǎn)F1（﹣2，0），橢圓E的方程為 ．

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），則直線(xiàn)MD的方程為 ，

代入橢圓方程 ，整理得， ．

∵ ，∴ ．

從而 ，故點(diǎn) ．同理，點(diǎn) ．

∵三點(diǎn)M、F1、N共線(xiàn)，∴ ，從而x1y2﹣x2y1=2（y1﹣y2）．

從而 ．

故 ，從而存在滿(mǎn)足條件的常數(shù)λ，

【解析】（1）由 ，得 ，從而有a+c=5（a﹣c），結(jié)合離心率定義即可求得答案；（2）由點(diǎn)D（1，0）為線(xiàn)段OF2的中點(diǎn)可求得c值，進(jìn)而可求出a值、b值，得到橢圓方程，設(shè)M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），P（x3 ， y3），Q（x4 ， y4），則直線(xiàn)MD的方程為 ，與橢圓方程聯(lián)立及韋達(dá)定理可把P、Q坐標(biāo)用M、N坐標(biāo)表示出來(lái)，再根據(jù)三點(diǎn)M、F1、N共線(xiàn)及斜率公式可得k1、k2間的關(guān)系式，由此可得答案．