【題目】已知函數(shù),是的導(dǎo)函數(shù),.
(1)當(dāng)時,判斷函數(shù)在上是否存在零點,并說明理由;
(2)若在上存在最小值,求的取值范圍.
【答案】(1)不存在零點,理由見解析;(2)
【解析】
(1)當(dāng)時,得,對求導(dǎo),從而得單調(diào)性,即可判斷零點;
(2)求出的導(dǎo)函數(shù),結(jié)合,討論的單調(diào)性,看是否存在最值即可得到答案.
(1)時,.
令,即,,得,
當(dāng)變化時,,變化如下:
- | 0 | + | |
減 | 最小值 | 增 |
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
∴的極小值為.∴函數(shù)在上不存在零點.
(2)因為,所以,
令,則.
①當(dāng)時,,即,
∴在單調(diào)遞增,
∴時,,
∴在單調(diào)遞增,∴在不存在最小值,
②當(dāng)時,,
所以,即在內(nèi)有唯一解,
當(dāng)時,,當(dāng)時,,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
所以,又因為,
所以在內(nèi)有唯一零點,
當(dāng)時,即,
當(dāng)時,即,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
所以函數(shù)在處取得最小值,
即時,函數(shù)在上存在最小值.
綜上所述,在上存在最小值時,的取值范圍為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若數(shù)列的每一項都不等于零,且對于任意的,都有(為常數(shù)),則稱數(shù)列為“類等比數(shù)列”;已知數(shù)列滿足:,對于任意的,都有;
(1)求證:數(shù)列是“類等比數(shù)列”;
(2)若是單調(diào)遞減數(shù)列,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若,求數(shù)列的前項之積取最大值時的值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市《城市總體規(guī)劃(年)》提出到年實現(xiàn)“分鐘社區(qū)生活圈”全覆蓋的目標(biāo),從教育與文化、醫(yī)療與養(yǎng)老、交通與購物、休閑與健身個方面構(gòu)建“分鐘社區(qū)生活圈”指標(biāo)體系,并依據(jù)“分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)高低將小區(qū)劃分為:優(yōu)質(zhì)小區(qū)(指數(shù)為)、良好小區(qū)(指數(shù)為)、中等小區(qū)(指數(shù)為)以及待改進小區(qū)(指數(shù)為)個等級.下面是三個小區(qū)個方面指標(biāo)的調(diào)查數(shù)據(jù):
注:每個小區(qū)“分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù),其中、、、為該小區(qū)四個方面的權(quán)重,、、、為該小區(qū)四個方面的指標(biāo)值(小區(qū)每一個方面的指標(biāo)值為之間的一個數(shù)值).
現(xiàn)有個小區(qū)的“分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)數(shù)據(jù),整理得到如下頻數(shù)分布表:
分組 | |||||
頻數(shù) |
(Ⅰ)分別判斷、、三個小區(qū)是否是優(yōu)質(zhì)小區(qū),并說明理由;
(Ⅱ)對這個小區(qū)按照優(yōu)質(zhì)小區(qū)、良好小區(qū)、中等小區(qū)和待改進小區(qū)進行分層抽樣,抽取個小區(qū)進行調(diào)查,若在抽取的個小區(qū)中再隨機地選取個小區(qū)做深入調(diào)查,記這個小區(qū)中為優(yōu)質(zhì)小區(qū)的個數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題P:函數(shù)且|f(a)|<2,命題Q:集合A={x|x2+(a+2)x+1=0,x∈R},B={x|x>0}且A∩B=,
(1)分別求命題P、Q為真命題時的實數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)實數(shù)a取何范圍時,命題P、Q中有且僅有一個為真命題;
(3)設(shè)P、Q皆為真時a的取值范圍為集合S,,若RTS,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程。
已知曲線C:(t為參數(shù)), C:(為參數(shù))。
(1)化C,C的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;
(2)若C上的點P對應(yīng)的參數(shù)為,Q為C上的動點,求中點到直線
(t為參數(shù))距離的最小值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,沿河有A、B兩城鎮(zhèn),它們相距千米.以前,兩城鎮(zhèn)的污水直接排入河里,現(xiàn)為保護環(huán)境,污水需經(jīng)處理才能排放.兩城鎮(zhèn)可以單獨建污水處理廠,或者聯(lián)合建污水處理廠(在兩城鎮(zhèn)之間或其中一城鎮(zhèn)建廠,用管道將污水從各城鎮(zhèn)向污水處理廠輸送).依據(jù)經(jīng)驗公式,建廠的費用為(萬元),表示污水流量;鋪設(shè)管道的費用(包括管道費)(萬元),表示輸送污水管道的長度(千米).已知城鎮(zhèn)A和城鎮(zhèn)B的污水流量分別為、,、兩城鎮(zhèn)連接污水處理廠的管道總長為千米.假定:經(jīng)管道輸送的污水流量不發(fā)生改變,污水經(jīng)處理后直接排入河中.請解答下列問題(結(jié)果精確到):
(1)若在城鎮(zhèn)A和城鎮(zhèn)B單獨建廠,共需多少總費用?
(2)考慮聯(lián)合建廠可能節(jié)約總投資,設(shè)城鎮(zhèn)A到擬建廠的距離為千米,求聯(lián)合建廠的總費用與的函數(shù)關(guān)系式,并求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在我們的教材必修一中有這樣一個問題,假設(shè)你有一筆資金,現(xiàn)有三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報如下:
方案一:每天回報元;
方案二:第一天回報元,以后每天比前一天多回報元;
方案三:第一天回報元,以后每天的回報比前一天翻一番.
記三種方案第天的回報分別為,,.
(1)根據(jù)數(shù)列的定義判斷數(shù)列,,的類型,并據(jù)此寫出三個數(shù)列的通項公式;
(2)小王準(zhǔn)備做一個為期十天的短期投資,他應(yīng)該選擇哪一種投資方案?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè),當(dāng)時,對任意,存在,使得,求實數(shù)的取值范圍.
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