Question

【題目】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿(mǎn)足：anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1 ， 則 S12= ．

Answer 1

【答案】3
【解析】解：∵anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1 ， 且Sn+1=Sn+an+1 ， ∴（an﹣an+1）Sn+ anan+1+an﹣an+1=0，
∴Sn+ +1=0；
又∵a1=1，令n=1，則1+ +1=0，解得a2= ，
同理可得a3= ，
猜想an= ；
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
② 當(dāng)n=1時(shí)，a1= =1，成立；
②假設(shè)當(dāng)n≤k（k∈N*）時(shí)成立，ak= ，則Sk= = ；
∵Sk+ +1=0，
∴ + +1=0，
解得ak+1= ；
因此當(dāng)n=k+1時(shí)也成立，
綜上，對(duì)于n∈N* ， an= 都成立；
由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得，Sn= ；
∴ S12= × =3．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，需要了解通項(xiàng)公式：；前項(xiàng)和公式：才能得出正確答案．