Question

【題目】已知點(diǎn)在拋物線：上．

（1）求的方程；

（2）過上的任一點(diǎn)（與的頂點(diǎn)不重合）作軸于，試求線段中點(diǎn)的軌跡方程；

（3）在上任取不同于點(diǎn)的點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，求面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）面積的最小值為．

【解析】

（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程即可求解；

（2）設(shè)中點(diǎn)的坐標(biāo)，并用坐標(biāo)坐標(biāo)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線方程即可，另外排除； （3）方法一，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)，寫出直線的方程，并與直線方程聯(lián)立，求解點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而寫點(diǎn)B坐標(biāo)，判斷直線AB過定點(diǎn)，根據(jù)與點(diǎn)，將分割成與，用與的面積和表示所求，進(jìn)而求最值；方法二，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)，由向量共線求點(diǎn)P坐標(biāo)，進(jìn)而求點(diǎn)B坐標(biāo)，是上的一點(diǎn)，由向量共線證明直線AB過定點(diǎn)，根據(jù)與點(diǎn)，將分割成與，進(jìn)而用點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)表示面積，可求最值；方法三，設(shè)直線：，與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)的關(guān)系。用點(diǎn)B坐標(biāo)表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，由A、C、P三點(diǎn)共線推出m,n的關(guān)系，進(jìn)而可得直線過定點(diǎn)，根據(jù)與點(diǎn)，將分割成與，進(jìn)而用點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)表示面積，可求最值。

解：（1）依題意，得，

所以，

從而的方程為．

（2）設(shè)線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

由點(diǎn)在上，得

化簡(jiǎn)得，顯然，

所以線段中點(diǎn)的軌跡方程為．

（3）方法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則直線的方程為，

由解得，

即點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因?yàn)?/span>軸，過點(diǎn)在拋物線上，

所以的點(diǎn)坐標(biāo)為．

故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，直線過定點(diǎn)；…

當(dāng)時(shí)，顯然，

故直線的方程可為，

化簡(jiǎn)得．

因?yàn)?/span>任意，故，解得，

所以，直線也過定點(diǎn)．

于是，可設(shè)直線的方程為，且，，

由得，

則，，

，

所以當(dāng)時(shí)，的面積最小值為．此時(shí)，易得、兩點(diǎn)的坐標(biāo)可分別為

、．

方法二：因是拋物線上不同于點(diǎn)的點(diǎn)，故可設(shè)點(diǎn)，

又點(diǎn)在直線上，故可設(shè)點(diǎn)，

由、、三點(diǎn)共線得，而，，

所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

因?yàn)?/span>軸，且點(diǎn)在拋物線上，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)是上的一點(diǎn)，則，

而，，

所以，

即，

又．

所以，

即．

整理得

因任意，故，解得，

故直線過定點(diǎn)．

由此可得，不妨設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)的上方，則．

于是的面積為

．

顯然，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故面積的最小值為，此時(shí)，易得、兩點(diǎn)的坐標(biāo)可分為、．

方法三，設(shè)直線：，則由得，

設(shè)，，則，

因?yàn)?/span>軸，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

又點(diǎn)在直線上，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因?yàn)?/span>、、三個(gè)共線，所以，而，，

所以．

又，所以，

即．…………（*）

將、代入（*）．

得．

即．因?yàn)?/span>任意，所以．…

即，故直線過定點(diǎn)．

由此可得，于是的面積為

，

所以當(dāng)時(shí)，的面積的最小值為．此時(shí)，易得、兩點(diǎn)的坐標(biāo)可分別為、．