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【題目】已知函數,其中為常數,是自然對數的底數.

(1)設,若函數在區(qū)間上有極值點,求實數的取值范圍;

(2)證明:當時,恒成立.

【答案】(1);(2)證明見解析.

【解析】試題分析:(1),則,上有極值點,則上有變號零點,研究單調性使得函數和x軸有兩個交點即可;(2)要證成立,,

分別求得左式的最大值和右式的最小值,證得最大值小于最小值即可.

解析:

(1)由題意,,則,

由題意,若上有極值點,

上有變號零點.

,即,

,,

,

,,,,

,,

.

故若函數上有極值點,

只需

,

所以的取值范圍為.

(2)由題意,知要證成立.

,

時,

時,

所以當時,取得最大值.

所以.

,

,

因為,則,

在區(qū)間內單調遞增,

,即.

所以

.

綜上,當時,.

命題得證.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知三棱錐的底面是等邊三角形,點在平面上的射影在內(不包括邊界),.與底面所成角為,;二面角,的平面角為,則,之間的大小關系等確定的是()

A. B.

C. 是最小角,是最大角D. 只能確定,

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知函數.

() 若函數有零點, 求實數的取值范圍;

(Ⅱ) 證明: 當時, .

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】市場份額又稱市場占有率,它在很大程度上反映了企業(yè)的競爭地位和盈利能力,是企業(yè)非常重視的一個指標.近年來,服務機器人與工業(yè)機器人以迅猛的增速占領了中國機器人領域龐大的市場份額,隨著“一帶一路”的積極推動,包括機器人產業(yè)在內的眾多行業(yè)得到了更廣闊的的發(fā)展空間,某市場研究人員為了了解某機器人制造企業(yè)的經營狀況,對該機器人制造企業(yè)2017年1月至6月的市場份額進行了調查,得到如下資料:

月份

1

2

3

4

5

6

市場份額

11

163

16

15

20

21

請根據上表提供的數據,用最小二乘法求出關于的線性回歸方程,并預測該企業(yè)2017年7月份的市場份額.

如圖是該機器人制造企業(yè)記錄的2017年6月1日至6月30日之間的產品銷售頻數(單位:天)統(tǒng)計圖.設銷售產品數量為,經統(tǒng)計,當時,企業(yè)每天虧損約為200萬元;

時,企業(yè)平均每天收入約為400萬元;

時,企業(yè)平均每天收入約為700萬元.

①設該企業(yè)在六月份每天收入為,求的數學期望;

②如果將頻率視為概率,求該企業(yè)在未來連續(xù)三天總收入不低于1200萬元的概率.

附:回歸直線的方程是,其中

,

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【題目】已知焦點為的的拋物線)與圓心在坐標原點,半徑為交于,兩點,且,,其中,均為正實數.

(1)求拋物線的方程;

(2)設點為劣弧上任意一點,過的切線交拋物線,兩點,過,的直線,均于拋物線相切,且兩直線交于點,求點的軌跡方程.

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【題目】,在集合的所有元素個數為2的子集中,把每個子集的較大元素相加和記為a,較小元素之和記為b.

(1)n=3,a, b的值;

(2)n=4,求集合的所有3個元素子集中所有元素之和;

(3)對任意的是否為定值?若是定值,請給出證明并求出這個定值;若不是,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知隨機變量X服從正態(tài)分布Nμ,σ2),且PμXμ)=0.954 4,PμσXμσ)=0.682 6.μ4σ1,則P5X6)=( )

A. 0.135 9 B. 0.135 8 C. 0.271 8 D. 0.271 6

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知函數的導函數為,且對任意的實數都有是自然對數的底數),且,若關于的不等式的解集中恰有兩個整數,則實數的取值范圍是

A. B. C. D.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】在四棱錐中,側面底面ABCD,底面ABCD為直角梯形,,,,E,F分別為AD,PC的中點.

求證:平面BEF

,求二面角的余弦值.

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