Question

【題目】某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為 ，中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為 ，中獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)則不得分．每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品．
（1）若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為x，求x≤3的概率；
（2）若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知，小明中獎(jiǎng)的概率為 ，小紅中獎(jiǎng)的概率為 ，且兩人抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，

記“他們的累計(jì)得分X≤3”的事件為A，則事件A的對(duì)立事件是“X=5”，

因?yàn)镻（X=5）= ，∴P（A）=1﹣P（X=5）= ；

即他們的累計(jì)得分x≤3的概率為

（2）解：設(shè)小明、小紅兩人都選擇甲方案抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X1，

小明、小紅兩人都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X2，則這兩人都選擇甲方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（2X1）

都選擇乙方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（3X2）

由已知可得，X1～B（2， ），X2～B（2， ），

∴E（X1）=2× = ，E（X2）=2× = ，

從而E（2X1）=2E（X1）= ，E（3X2）=3E（X2）= ，

由于E（2X1）＞E（3X2），

∴他們選擇甲方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大

【解析】（1）記“他們的累計(jì)得分X≤3”的事事件為A，則事件A的對(duì)立事件是“X=5”，由題意知，小明中獎(jiǎng)的概率為 ，小紅中獎(jiǎng)的概率為 ，且兩人抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，先根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式求出對(duì)立事件的概率，再利用對(duì)立事件的概率公式即可求出他們的累計(jì)得分x≤3的概率．（2）設(shè)小明、小紅兩人都選擇甲方案抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X1，甲小明、小紅兩人都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X2，則這兩人都選擇甲方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（2X1），都選擇乙方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（3X2）．根據(jù)題意知X1～B（2， ），X2～B（2， ），利用貝努利概率的期望公式計(jì)算即可得出E（2X1）＞E（3X2），從而得出答案．
【考點(diǎn)精析】掌握離散型隨機(jī)變量及其分布列是解答本題的根本，需要知道在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列．