Question

【題目】如圖，已知三棱錐的三條側棱， ， 兩兩垂直， 為等邊三角形， 為內部一點，點在的延長線上，且．

（Ⅰ）證明： ；

（Ⅱ）證明： ；

（Ⅲ）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知條件利用勾股定理得， ，得進行證明；（Ⅱ）取的中點，連接、，通過證明平面來證得結論；（Ⅲ）以、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量與平面的一個法向量的夾角的余弦值，結合圖形即可得結論．

試題解析：（Ⅰ）因為， ， 兩兩垂直，

所以，

又△為等邊三角形，

所以 ，故

（Ⅱ）取的中點，連接、

因為， ，所以

，所以平面

所以

（Ⅲ）如圖建立空間坐標系

因為，可設,則

由（Ⅰ）同理可得

因為，

所以

所以設（）

所以，所以

平面的法向量為

設平面的法向量為則

取則所以，