Question

【題目】如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)O，長軸在x軸上，離心率 ，過左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點(diǎn)，|AA′|=4．

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P、P′，過P、P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外．若PQ⊥P'Q，求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知點(diǎn)A（﹣c，2）在橢圓上，則 ，即 ①

∵離心率 ，∴ ②

聯(lián)立①②得： ，所以b2=8．

把b2=8代入②得，a2=16．

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；

（2）解：設(shè)Q（t，0），圓Q的半徑為r，則圓Q的方程為（x﹣t）2+y2=r2，

不妨取P為第一象限的點(diǎn)，因?yàn)镻Q⊥P'Q，則P（ ）（t＞0）．

聯(lián)立 ，得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0．

由△=（﹣4t）2﹣4（2t2+16﹣2r2）=0，得t2+r2=8

又P（ ）在橢圓上，所以 ．

整理得， ．

代入t2+r2=8，得 ．

解得： ．所以 ， ．

此時(shí) ．

滿足橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外．

由對稱性可知，當(dāng)t＜0時(shí)，t=﹣ ， ．

故所求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程為

【解析】（1）利用點(diǎn)A（﹣c，2）在橢圓上，結(jié)合橢圓的離心率，求出幾何量，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出圓Q的圓心坐標(biāo)及半徑，由PQ⊥P'Q得到P的坐標(biāo)，寫出圓的方程后和橢圓聯(lián)立，化為關(guān)于x的二次方程后由判別式等于0得到關(guān)于t與r的方程，把P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得到關(guān)于t與r的另一方程，聯(lián)立可求出t與r的值，經(jīng)驗(yàn)證滿足橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外，結(jié)合對稱性即可求得圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程．