Question

【題目】已知A，B分別是直線(xiàn)y＝x和y＝－x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為，D是AB的中點(diǎn)．

（1）求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于不同兩點(diǎn)P、Q，當(dāng)|PQ|＝3時(shí)，求直線(xiàn)l的方程。

Answer 1

【答案】（1）x2＋y2＝3.（2）.

【解析】試題分析：（1）設(shè)A(a，a)，B(b，－b),根據(jù)AB的長(zhǎng)為2得(a－b)2＋(a＋b)2＝12，再根據(jù)D是AB的中點(diǎn)得a－b=2y,a+b=2x,代入化簡(jiǎn)可得點(diǎn)D的軌跡C的方程（2）設(shè)直線(xiàn)點(diǎn)斜式方程，根據(jù)垂徑定理列式解斜率，最后討論斜率不存在時(shí)是否滿(mǎn)足題意

試題解析：解：　(1)設(shè)D(x，y)，A(a，a)，B(b，－b),

∵D是AB的中點(diǎn)， ∴x＝，y＝，

∵ |AB|＝2，∴(a－b)2＋(a＋b)2＝12，

∴(2y)2＋(2x)2＝12，∴點(diǎn)D的軌跡C的方程為x2＋y2＝3.

(2) ①當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，P(1，)，Q(1，－)，

此時(shí)|PQ|＝2，不符合題意；

當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k(x－1)，

由于|PQ|＝3，所以圓心C到直線(xiàn)l的距離為，

由＝，解得k＝.故直線(xiàn)l的方程為y＝(x－1).