【題目】若動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線(xiàn)的距離之和為．

（1）求點(diǎn)的軌跡方程，并在答題卡所示位置畫(huà)出方程的曲線(xiàn)草圖；

（2）（理）記（1）得到的軌跡為曲線(xiàn)，問(wèn)曲線(xiàn)上關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的不同點(diǎn)有幾對(duì)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）（文）記（1）得到的軌跡為曲線(xiàn)，若曲線(xiàn)上恰有三對(duì)不同的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求的取值范圍．

【答案】（1）點(diǎn)的軌跡方程為，作圖見(jiàn)解析 （2）答案不唯一 ，見(jiàn)解析（3）

【解析】

（1）根據(jù)條件列方程，化簡(jiǎn)即得軌跡方程，再根據(jù)軌跡形狀畫(huà)圖；

（2）結(jié)合圖象易得關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再利用方程求解不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，最后綜合得結(jié)果；

（3）結(jié)合圖象易得關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的有一對(duì)，再利用方程求解不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的對(duì)數(shù)為兩對(duì)的條件，即得結(jié)果.

解：、設(shè)，由題意

①：當(dāng)時(shí)，有，化簡(jiǎn)得：

②：當(dāng)時(shí)，有，化簡(jiǎn)得：（二次函數(shù)）

綜上所述：點(diǎn)的軌跡方程為（如圖）

、（理）當(dāng)或顯然不存在符合題意的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，注意到曲線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，至少存在一對(duì)（關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的）對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

下面研究曲線(xiàn)上關(guān)于對(duì)稱(chēng)但不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

設(shè)是軌跡上任意一點(diǎn)，則，它關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，由于點(diǎn)在軌跡上，

所以，

聯(lián)立方程組（*）得，

化簡(jiǎn)得

①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程組(*)有兩解，即增加有兩組對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。

②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程組(*)只有一組解，即增加一組對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。（注：對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，）

③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程組(*)有兩解為，沒(méi)有增加新的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。

綜上所述：

（3）、（文）若，則，所以曲線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，

所以一對(duì)存在關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

下面研究曲線(xiàn)上關(guān)于對(duì)稱(chēng)但不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

設(shè)是軌跡上任意一點(diǎn)，則，它關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，由于點(diǎn)在軌跡上，

所以，聯(lián)立方程組（*）得，化簡(jiǎn)得

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程組(*)有兩解，即增加有兩組對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。

所以的取值范圍是

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖：已知正方形的邊長(zhǎng)為，沿著對(duì)角線(xiàn)將折起，使到達(dá)的位置，且.

（1）證明：平面平面；

（2）若是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且滿(mǎn)足直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，求的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（I）試判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

（i）求證：此零點(diǎn)是的極值點(diǎn)；

（ⅱ）求證：.

（本題可能會(huì)用到的數(shù)據(jù)：）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，（a，b∈R）為奇函數(shù).

（1）求b值；

（2）當(dāng)a=﹣2時(shí)，存在x0∈[1，4]使得不等式f（x0）≤t成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；

（3）當(dāng)a≥1時(shí)，求證：函數(shù)g（x）=f（2x）﹣c（c∈R）在區(qū)間（﹣∞，﹣1]上至多有一個(gè)零點(diǎn).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知，函數(shù)

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若是的極值點(diǎn)，且曲線(xiàn)在兩點(diǎn)， 處的切線(xiàn)互相平行，這兩條切線(xiàn)在y軸上的截距分別為、，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】四棱錐的底面ABCD為直角梯形，，，，為正三角形．

Ⅰ點(diǎn)M為棱AB上一點(diǎn)，若平面SDM，，求實(shí)數(shù)的值；

Ⅱ若，求二面角的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在正方體中，、分別是棱、的中點(diǎn)，、分別是線(xiàn)段與上的點(diǎn)，則與平面平行的直線(xiàn)有（ ）

A.0條B.1條C.2條D.無(wú)數(shù)條

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.求證：存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的整數(shù)，使得.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓的中心在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)，在軸上，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸，兩曲線(xiàn)在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)， 且，的面積為3.

（1）求橢圓和拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)分別與拋物線(xiàn)和橢圓交于，，若，求直線(xiàn)的斜率.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案