Question

【題目】已知函數(shù)，（a，b∈R）為奇函數(shù).

（1）求b值；

（2）當(dāng)a=﹣2時，存在x0∈[1，4]使得不等式f（x0）≤t成立，求實數(shù)t的取值范圍；

（3）當(dāng)a≥1時，求證：函數(shù)g（x）=f（2x）﹣c（c∈R）在區(qū)間（﹣∞，﹣1]上至多有一個零點.

Answer 1

【答案】（1）b=0；（2）t≥2；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和最值的關(guān)系進行求解即可；

（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義先判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)零點之間的關(guān)系進行證明．

解：（1）函數(shù)為奇函數(shù)，

，即，

，即；

（2）當(dāng)時，，

函數(shù)，在，均單調(diào)遞增，

函數(shù)在，單調(diào)遞增，

當(dāng)，時，，

存在，使得不等式成立，

；

（3）證明：，

設(shè)，，

，

，，

，即，

，又，

，即，

函數(shù)在，單調(diào)遞減，

又，結(jié)合函數(shù)圖象知函數(shù)在，上至多有一個零點．