【題目】如圖,曲線由兩個橢圓:和橢圓:組成,當成等比數(shù)列時,稱曲線為“貓眼曲線”.
(1)若貓眼曲線過點,且的公比為,求貓眼曲線的方程;
(2)對于題(1)中的求貓眼曲線,任作斜率為且不過原點的直線與該曲線相交,交橢圓所得弦的中點為M,交橢圓所得弦的中點為N,求證:為與無關(guān)的定值;
(3)若斜率為的直線為橢圓的切線,且交橢圓于點,為橢圓上的任意一點(點與點不重合),求面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù),(a,b∈R)為奇函數(shù).
(1)求b值;
(2)當a=﹣2時,存在x0∈[1,4]使得不等式f(x0)≤t成立,求實數(shù)t的取值范圍;
(3)當a≥1時,求證:函數(shù)g(x)=f(2x)﹣c(c∈R)在區(qū)間(﹣∞,﹣1]上至多有一個零點.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍(縱坐標不變),得到函數(shù)的圖象.求證:存在無窮多個互不相同的整數(shù),使得.
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【題目】設(shè)數(shù)列的所有項都是不等于的正數(shù),的前項和為,已知點在直線上(其中常數(shù),且)數(shù)列,又.
(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)如果,求實數(shù)的值;
(3)若果存在使得點和都在直線在上,是否存在自然數(shù),當()時,恒成立?若存在,求出的最小值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù)(為常數(shù),且),且數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列.
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)若,當時,求數(shù)列的前項和的最小值;
(3)若,問是否存在實數(shù),使得是遞增數(shù)列?若存在,求出的范圍;若不存在,說明理由.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求證:函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增;
(2)記為函數(shù)的反函數(shù).若關(guān)于的方程在上有解,求的取值范圍;
(3)若對于恒成立,求的取值范圍.
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【題目】長軸長為的橢圓的中心在原點,其焦點,在軸上,拋物線的頂點在原點,對稱軸為軸,兩曲線在第一象限內(nèi)相交于點, 且,的面積為3.
(1)求橢圓和拋物線的標準方程;
(2)過點作直線分別與拋物線和橢圓交于,,若,求直線的斜率.
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【題目】記點到圖形上每一個點的距離的最小值稱為點到圖形的距離,那么平面內(nèi)到定圓的距離與到定點的距離相等的點的軌跡不可能是 ( )
A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.直線
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的普通方程和的直角坐標方程;
(2)過點作傾斜角為的直線交于兩點,過作與平行的直線交于點,若,求.
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