【題目】已知函數(shù)fx

1)討論函數(shù)fx)的單調(diào)性;

2)證明:a1時,fx+gx)﹣(1lnxe

【答案】1)詳見解析;(2)證明見解析

【解析】

1)對求導后,再對a分類討論即可得出函數(shù)的單調(diào)性.

2a1時,將所證不等式轉(zhuǎn)化為exex+1,Fx)=exex+1Gx,分別根據(jù)導數(shù)求出的最小值和的最大值即可證明不等式成立.

1fxalnx,(x∈(0+∞)).

a≤0時,0,函數(shù)fx)在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞減.

a0時,由,,由

所以函數(shù)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增.

2)證明:a1時,要證fx+gx)﹣(1lnxe

即要證:lnxe0exex+1x∈(0,+∞).

Fx)=exex+1,Fx)=exe

x∈(0,1)時,F′(x)<0,此時函數(shù)Fx)單調(diào)遞減;

x∈(1,+∞)時,F′(x)>0,此時函數(shù)Fx)單調(diào)遞增.

可得x1時,函數(shù)Fx)取得最小值,F1)=1

Gx,Gx,

時,,此時為增函數(shù),

時。,此時為減函數(shù)

所以xe時,函數(shù)Gx)取得最大值,Ge)=1.

x1xe不同時取得,因此Fx)>Gx),即exex+1x∈(0,+∞).

故原不等式成立.

練習冊系列答案
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