Question

已知函數(shù)F(x)=

3x-2

2x-1

(x≠

1

2

)
（1）求F(

1

2011

)+F(

2

2011

)+…+F(

2010

2011

)；
（2）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=F（a_n），求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3） 求證：a₁a₂a₃…a_n＞

2n+1

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)F（x）的解析式化簡得到F（x）+F（1-x）=3，所以把所求的式子乘以2后，倒序相加即可得到所求式子的值；
（2）先把x=a_n代入f（x）的解析式中，確定出f（a_n），由a_n+1=F（a_n），兩邊都減去1，化簡后即可得到數(shù)列{

1

an-1

}是以2為公差、1為首項得等差數(shù)列，寫出數(shù)列{

1

an-1

}的通項公式即可求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）根據(jù)（2n）²＞（2n）²-1，得到

2n

2n-1

＞

2n+1

2n

，根據(jù)（2）中求出的數(shù)列{a_n}的通項公式列舉出各項，收縮不等式后約分即可得證．

解答：解：（1）因為F(x)+F(1-x)=

3x-2

2x-1

+

3(1-x)-2

2(1-x)-1

=3，
所以由倒序相加可得：2[F(

1

2011

)+F(

2

2011

)+…+F(

2010

2011

)]
=[F（

1

2011

）+F（

2010

2011

）]+…+[F（

2010

2011

）+F（

1

2011

）]
=3×2010=6030，
則F(

1

2011

)+F(

2

2011

)+…+F(

2010

2011

)=3015；
（2）由a_n+1=F（a_n），兩邊同時減去1，得an+1-1=

an-1

2an-1

，
所以

1

an+1-1

=

2an-1

an-1

=2+

1

an-1

，
故{

1

an-1

}是以2為公差、1為首項得等差數(shù)列．
所以

1

an-1

=2n-1，由此an=

2n

2n-1

（3）因為（2n）²＞（2n）²-1=（2n+1）（2n-1），
所以

2n

2n-1

＞

2n+1

2n

，于是

2

1

＞

3

2

，

4

3

＞

5

4

，…，

2n

2n-1

＞

2n+1

2n

所以a1a2…an=

(a1a2…an)2

=

2 1 • 2 1 • 4 3 • 4 3 … 2n 2n-1 • 2n 2n-1

＞

2 1 • 3 2 • 4 3 … 2n 2n-1 • 2n+1 2n

=

2n+1

．

點評：此題考查了等差數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列的確定方法，是一道中檔題．本題的技巧性比較強如第1問中求出F（x）+F（1-x）的值，然后利用倒序相加的方法來求解；第3問證明不等式時注意利用不等式的放縮的方法來證明．