Question

已知函數(shù)f(x)=|3-

1

x

|，x∈(0，+∞)．
（1）寫(xiě)出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，b（0＜a＜b）使函數(shù)y=f（x）定義域值域均為[a，b]，若存在，求出a，b的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先將原含有絕對(duì)值的函數(shù)化成分段函數(shù)的形式，再畫(huà)出其圖象，觀察圖象可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）可假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，b，使得y=f（x）的定義域和值域都是[a，b]，由此出發(fā)探究a，b的可能取值，可分三類(lèi)：當(dāng)a≥

1

3

時(shí)，當(dāng)0＜a＜

1

3

＜b時(shí)，當(dāng)b≤

1

3

時(shí)，分別建立方程，尋求a，b的可能取值，若能求出這樣的實(shí)數(shù)，則說(shuō)明存在，否則說(shuō)明不存在．

解答：解：（1）易知   f(x)=

3- 1 x ，x＞ 1 3 1 x -3，0＜x≤ 1 3

即單調(diào)減區(qū)間為(0，

1

3

)；單調(diào)增區(qū)間為(

1

3

，+∞)

（2）因?yàn)?span id="ymro5ar" class="MathJye">f(x)=|3-

1

x

|的定義域與值域均為[a，b]
①當(dāng)a≥

1

3

時(shí)，f（x）在區(qū)間[a，b]上遞增
所以

f(a)=a f(b)=b

⇒

1 3 -a=a 1 3 -b=b

⇒

a= 3- 5 2 b= 3+ 5 2

；
②當(dāng)0＜a＜

1

3

＜b時(shí)，f（x）在[a，

1

3

)遞減，在[

1

3

，b]上遞增
值域?yàn)閇a，b]，即a=0，與題矛盾；
③當(dāng)b≤

1

3

時(shí)，f（x）在[a，b]上遞減
所以

f(a)=b f(b)=a

⇒

1 a -3=b 1 b -3=a

⇒不合題意
綜上所述，a=

3- 5

2

，b=

3+ 5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考察了絕對(duì)值函數(shù)，函數(shù)的定義域、值域，解題的關(guān)鍵是理解題意，將問(wèn)題正確轉(zhuǎn)化，進(jìn)行分類(lèi)討論探究，本題考察了分類(lèi)討論的思想，方程的思想，考察了推理判斷能力，是一道綜合性較強(qiáng)的題，思維難度大，解題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)，本題易因?yàn)榭紤]不完善出錯(cuò)．