Question

已知函數(shù)f(x)=3-2sin2ωx-2cos(ωx+

π

2

)cosωx(0＜ω≤2)的圖象過點(diǎn)(

π

16

，2+

2

)．
（Ⅰ）求ω的值及使f（x）取得最小值的x的集合；
（Ⅱ）該函數(shù)的圖象可由函數(shù)y=

2

sin4x(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得出？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由倍角公式和兩角和的正弦公式對解析式進(jìn)行化簡，把已知點(diǎn)代入根據(jù)ω的范圍求出ω的值，根據(jù)正弦函數(shù)的最小值，即當(dāng)sin(4x+

π

4

)=-1時(shí)，函數(shù)有最小值，求出對應(yīng)的x的集合；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的解析式和圖象變換法則，即“左加右減”和“上加下減”，進(jìn)行圖象變換．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=3-（1-cos2ωx）+2sinωcosωx=2+cos2ωx+sin2ωx（2分）
=2+

2

sin(2ωx+

π

4

)（3分）
∵函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)(

π

16

，2+

2

)
∴2+

2

=2+

2

sin(2ω×

π

16

+

π

4

)
即sin(

π

8

ω+

π

4

)=1，∴

π

8

ω+

π

4

=2kπ+

π

2

(k∈Z)
∴0＜ω≤2，∴當(dāng)k=0時(shí)，ω=2即的求ω的值為2（6分）
故f(x)=2+

2

sin(4x+

π

4

)
當(dāng)f（x）取最小值時(shí)，sin(4x+

π

4

)=-1，此時(shí)4x+

π

4

=2kπ-

π

2

(k∈Z)
∴x=

kπ

2

-

3

16

π(k∈Z)．
即，使f（x）取得最小值的x的集合為{x|x=

kπ

2

-

3

16

π，k∈Z}（9分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)=2+

2

sin(4x+

π

4

)
∴函數(shù)f(x)=2+

2

sin(4x+

π

4

)的圖象可由y=

2

sin4x的圖象經(jīng)過以下變換得出；
先把y=

2

sin4x圖象上所有的點(diǎn)向左平移

π

16

個(gè)單位長度，
得到函數(shù)y=

2

sin(4x+

π

4

)的圖象，再把所得圖象上的所有點(diǎn)，
向上平移2個(gè)單位長度，從而得到函數(shù)y=2+

2

sin(4x+

π

4

)，x∈R的圖象．（12分）

點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是圖象的變換和解析式的求法，應(yīng)先對解析式化簡再把條件代入，利用知識點(diǎn)有倍角公式和兩角和的正弦公式，圖象變換法則和正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了整體思想．