【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，都有，當(dāng)時(shí)，.

（1）求的值；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，.

（3）證明：在上單調(diào)遞減.

（4）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析；（4）.

【解析】

（1）令，，化簡(jiǎn)后可得的值.

（2）設(shè)，由題設(shè)可得，從而得到，結(jié)合可得.

（3）利用單調(diào)性的定義可證在上單調(diào)遞減.

（4）原不等式等價(jià)于，利用單調(diào)性和（1）中的結(jié)論可得對(duì)任意的恒成立，參變分離后可求的取值范圍.

（1）令，，∴，

∵時(shí)，，∴，∴.

（2）設(shè)，，則，

∴，∵，∴，即.

（3）任取，且，

則

，

∵，∴，∴，

又∵，∴，即，

∴，∴在上單調(diào)遞減.

（4），∴，

令,則，故在上恒成立，

所以在上恒成立，

由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)等號(hào)成立，

故即.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校響應(yīng)教育部門(mén)疫情期間“停課不停學(xué)”的號(hào)召，實(shí)施網(wǎng)絡(luò)授課，為檢驗(yàn)學(xué)生上網(wǎng)課的效果，高三學(xué)年進(jìn)行了一次網(wǎng)絡(luò)模擬考試.全學(xué)年共1500人，現(xiàn)從中抽取了100人的數(shù)學(xué)成績(jī)，繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).已知這100人中分?jǐn)?shù)段的人數(shù)比分?jǐn)?shù)段的人數(shù)多6人.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求a，b的值，并估計(jì)抽取的100名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)；(中位數(shù)保留兩位小數(shù))

（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在，的兩組同學(xué)中隨機(jī)抽取6名同學(xué)，從這6名同學(xué)中再任選2名同學(xué)作為“網(wǎng)絡(luò)課堂學(xué)習(xí)優(yōu)秀代表”發(fā)言，求這2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)不在同一組內(nèi)的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓的方程為．

（1）寫(xiě)出直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，直線與圓相交于兩點(diǎn)，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在班級(jí)活動(dòng)中，4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目：（寫(xiě)出必要的數(shù)學(xué)式，結(jié)果用數(shù)字作答）

（1）三名女生不能相鄰，有多少種不同的站法？

（2）四名男生相鄰有多少種不同的排法？

（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？

（4）甲乙丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法？（甲乙丙三位同學(xué)身高互不相等）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】秸稈還田是當(dāng)今世界上普通重視的一項(xiàng)培肥地力的增產(chǎn)措施，在杜絕了秸稈焚燒所造成的大氣污染的同時(shí)還有增肥增產(chǎn)作用．某農(nóng)機(jī)戶(hù)為了達(dá)到在收割的同時(shí)讓秸稈還田，花元購(gòu)買(mǎi)了一臺(tái)新型聯(lián)合收割機(jī)，每年用于收割可以收入萬(wàn)元（已減去所用柴油費(fèi)）；該收割機(jī)每年都要定期進(jìn)行維修保養(yǎng)，第一年由廠方免費(fèi)維修保養(yǎng)，第二年及以后由該農(nóng)機(jī)戶(hù)付費(fèi)維修保養(yǎng)，所付費(fèi)用（元）與使用年數(shù)的關(guān)系為：，已知第二年付費(fèi)元，第五年付費(fèi)元．

（1）試求出該農(nóng)機(jī)戶(hù)用于維修保養(yǎng)的費(fèi)用（元）與使用年數(shù)的函數(shù)關(guān)系；

（2）這臺(tái)收割機(jī)使用多少年，可使平均收益最大？（收益=收入-維修保養(yǎng)費(fèi)用-購(gòu)買(mǎi)機(jī)械費(fèi)用）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】有下列四個(gè)命題

①“若，則互為相反數(shù)”的逆命題；

②“全等三角形的面積相等”的否命題；

③“若，則有實(shí)根”的逆否命題；

④“不等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等”的逆命題.

其中真命題為_______________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)為30元/件的商品，在市場(chǎng)試銷(xiāo)中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷(xiāo)售單價(jià)x（單位：元）與日銷(xiāo)售量y（單位：件）之間有如下表所示的關(guān)系.

x

…

30

40

45

50

…

y

…

60

30

15

0

…

（1）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實(shí)數(shù)對(duì)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)畫(huà)出的點(diǎn)猜想y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫(xiě)出一個(gè)函數(shù)解析式；

（2）設(shè)經(jīng)營(yíng)此商品的日銷(xiāo)售利潤(rùn)為P（單位：元），根據(jù)上述關(guān)系，寫(xiě)出P關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，才能獲得最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】采用系統(tǒng)抽樣方法從1000人中抽取50人做問(wèn)卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號(hào)1，， ，1000，適當(dāng)分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為8，抽到的50人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間的人做問(wèn)卷A，編號(hào)落入?yún)^(qū)間的人做問(wèn)卷B，其余的人做問(wèn)卷C，則抽到的人中，做問(wèn)卷C的人數(shù)為（ ）

A. 12 B. 13 C. 14 D. 15

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) （ x R ,且 e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

⑴ 判斷函數(shù) f x 的單調(diào)性與奇偶性；

⑵是否存在實(shí)數(shù) t ，使不等式對(duì)一切的 x R 都成立？若存在，求出 t 的值，若 不存在說(shuō)明理由．

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