Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，平面，且，設(shè)，分別為，的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）利用線面平行的性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；

（2）方法一：利用幾何法求線面角，一作，二證，三求解；方法二：利用空間直角坐標(biāo)系，線面角的向量關(guān)系即可得到結(jié)論.

（1）解析：因?yàn)榈酌?/span>為平行四邊形，是中點(diǎn)，所以是中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面.

（2）解析1：（幾何法）

因?yàn)?/span>平面，平面平面，

所以直線與平面的交點(diǎn)即為與的交點(diǎn)，設(shè)為，

，所以為等邊三角形，取中點(diǎn)，

則，因?yàn)?/span>平面，所以平面平面，

平面平面，，所以平面，

所以是直線與平面所成角，

因?yàn)?/span>，分別為，的中點(diǎn)，所以是的重心，

在中，，所以，在平行四邊形中，，

在中，，

在中，，所以，

所以，又因?yàn)?/span>，

所以，即直線與平面所成角的正弦值為.

解析2：（向量法）

取中點(diǎn)，則，因?yàn)?/span>平面，

所以平面，

因?yàn)?/span>，所以為等邊三角形，

所以，此時(shí)，，兩兩垂直，

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，，，

在中，，所以，由，得，

所以，平面的法向量為，

所以，

所以，

即直線與平面所成角的正弦值為.