【題目】設(shè)數(shù)列的前項和為,且(),設(shè)(),數(shù)列的前項和.
(1)求、、的值;
(2)利用“歸納—猜想—證明”求出的通項公式;
(3)求數(shù)列的通項公式.
【答案】(1),,;(2)();(3).
【解析】
(1)先代,求得,當時,根據(jù),化簡得到與的遞推式,
再代,求得,并為求第(2)問提供基礎(chǔ);
(2)由(1)歸納猜想,并用數(shù)學(xué)歸納法證明;
(3)由(2)求得的,求出,并化簡,分析,發(fā)現(xiàn)可用裂項相消法求解,
考慮消去方便,可對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分析,最后合并得到答案.
解:(1)由,令,則,得,
當時,由,得,得,
令,得,令,得,即,,.
(2)由(1)知,,,猜想,
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:① 當 時,由猜想知顯然成立;
②假設(shè)猜想成立,即,
則當時,由(1)有,
即當時,猜想也成立.
綜合①②可知,猜想成立,即
(3)由(2)知,當時,,
綜合知:,又,
則
當為偶數(shù)時,
當為奇數(shù)時,
綜上可得
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校從參加環(huán)保知識競賽的1200名學(xué)生中,隨機抽取60名,將其成績(均為整數(shù))分成六段,,…,后畫出如圖的頻率分布直方圖.
(1)估計這次競賽成績的眾數(shù)與中位數(shù)(結(jié)果保留小數(shù)點后一位);
(2)若這次競賽成績不低于80分的同學(xué)都可以獲得一份禮物,試估計該校參加競賽的1200名學(xué)生中可以獲得禮物的人數(shù).
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【題目】在某單位的食堂中,食堂每天以元/斤的價格購進米粉,然后以4.4元/碗的價格出售,每碗內(nèi)含米粉0.2斤,如果當天賣不完,剩下的米粉以2元/斤的價格賣給養(yǎng)豬場.根據(jù)以往統(tǒng)計資料,得到食堂某天米粉需求量的頻率分布直方圖如圖所示,若食堂某天購進了80斤米粉,以(單位:斤)(其中)表示米粉的需求量, (單位:元)表示利潤.
(Ⅰ)計算當天米粉需求量的平均數(shù),并直接寫出需求量的眾數(shù)和中位數(shù);
(Ⅱ) 將表示為的函數(shù);
(Ⅲ)根據(jù)直方圖估計該天食堂利潤不少于760元的概率.
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【題目】某班同學(xué)利用國慶節(jié)進行社會實踐,對[25,55]歲的人群隨機抽取人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調(diào)查,若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”,否則稱為“非低碳族”,得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖:
組數(shù) | 分組 | 低碳族的人數(shù) | 占本組的頻率 |
第一組 | [25,30) | 120 | 0.6 |
第二組 | [30,35) | 195 | |
第三組 | [35,40) | 100 | 0.5 |
第四組 | [40,45) | 0.4 | |
第五組 | [45,50) | 30 | 0.3 |
第六組 | [50,55] | 15 | 0.3 |
(1)補全頻率分布直方圖并求 的值;
(2)從年齡段在[40,50)的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗活動,其中選取2人作為領(lǐng)隊,求選取的2名領(lǐng)隊中恰有1人年齡在[4,45)歲的概率.
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【題目】設(shè)數(shù)列{an}滿足當n>1時,an=,且a1=.
(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;
(2)a1a2是否是數(shù)列{an}中的項?如果是,求出是第幾項;如果不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=.
(1)求f(2)+f(),f(3)+f()的值;
(2)求證:f(x)+f()是定值;
(3)求f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(2012)+f()的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】高考復(fù)習經(jīng)過二輪“見多識廣”之后,為了研究考前“限時搶分”強化訓(xùn)練次數(shù)與答題正確率﹪的關(guān)系,對某校高三某班學(xué)生進行了關(guān)注統(tǒng)計,得到如下數(shù)據(jù):
1 | 2 | 3 | 4 | |
20 | 30 | 50 | 60 |
(1)求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測答題正確率是100﹪的強化訓(xùn)練次數(shù);
(2)若用表示統(tǒng)計數(shù)據(jù)的“強化均值”(精確到整數(shù)),若“強化均值”的標準差在區(qū)間內(nèi),則強化訓(xùn)練有效,請問這個班的強化訓(xùn)練是否有效?
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:
=, =- ,
樣本數(shù)據(jù)的標準差為:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)有兩個不相等的正零點,求的取值范圍;
(2)若函數(shù)在上的最小值為-3,求的值.
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