Question

【題目】如果從北大打車到北京車站去接人，聰明的專家一定會(huì)選擇走四環(huán)。雖然從城中間直穿過去看上去很誘人，但考慮到北京的道路幾乎總是正南正北的方向，事實(shí)上不會(huì)真有人認(rèn)為這樣走能抄近路。在城市中，專家估算兩點(diǎn)之間的距離時(shí)，不會(huì)直接去測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的直線距離，而會(huì)去考慮它們相距多少個(gè)街區(qū)。在理想模型中，假設(shè)每條道路都是水平或者豎直的，那么只要你朝著目標(biāo)走（不故意繞遠(yuǎn)路），不管你這樣走，花費(fèi)的路程都是一樣的。出租車幾何學(xué)（taxicab geometry），所謂的“出租車幾何學(xué)”是由十九世紀(jì)的另一位真專家赫爾曼-閔可夫斯基所創(chuàng)立的。在出租車幾何學(xué)中，點(diǎn)還是形如的有序?qū)崝?shù)對(duì)，直線還是滿足的所有組成的圖形，角度大小的定義也和原來一樣。只是直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)，定義它們之間的一種“距離”：，請(qǐng)解決以下問題：

（1）定義：“圓”是所有到定點(diǎn)“距離”為定值的點(diǎn)組成的圖形，求“圓周”上的所有點(diǎn)到點(diǎn)的“距離”均為的“圓”方程，并作出大致圖像；

（2）在出租車幾何學(xué)中，到兩點(diǎn)、“距離”相等的點(diǎn)的軌跡稱為線段的“垂直平分線”，已知點(diǎn)，，；

①寫出在線段的“垂直平分線”的軌跡方程，并寫出大致圖像；

②求證：三邊的“垂直平分線”交于一點(diǎn)（該點(diǎn)稱為的“外心”），并求出的“外心”.

Answer 1

【答案】（1）；（2），若，則；若，則；若，則；②證明略，“外心”

【解析】

（1）利用“圓”的概念，能夠求出“圓周”上的所有點(diǎn)到點(diǎn)的“距離”均為的“圓”的方程；

（2）①由已知條件，得，由此能夠求出線段的垂直平分線的軌跡方程并畫出大致圖象；

②設(shè)三角形“外心”坐標(biāo)為，由結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）“圓”是所有到定點(diǎn)“距離”為定值的點(diǎn)組成的圖形，

“圓周”上的所有點(diǎn)到點(diǎn)的“距離”均為，

“圓”方程為：；

（2）①由題意知，設(shè)到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則.

（�。┊�(dāng)時(shí)，去絕對(duì)值符號(hào)得：

整理得，顯然或時(shí)，該方程無解.

當(dāng)時(shí)，去絕對(duì)值符號(hào)得：，

整理得：，解得.

則此情況下，與的關(guān)系為.

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，去絕對(duì)值符號(hào)得

整理得

當(dāng)時(shí)，去絕對(duì)值符號(hào)得：即

當(dāng)時(shí)，去絕對(duì)值符號(hào)得：，舍去；

當(dāng)時(shí)，去絕對(duì)值符號(hào)得：，舍去；

所以此情況下，與的關(guān)系為.

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，去絕對(duì)值符號(hào)得：，

整理得，顯然或時(shí)，該方程無解.

當(dāng)時(shí)，去絕對(duì)值符號(hào)得：，解得.

所以.

綜上所述，到兩點(diǎn)距離相等的坐標(biāo)為的點(diǎn)的軌跡方程，即線段的垂直平分線的方程為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

②由題意知

由知到點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為滿足：

即，解得.

故線段的垂直平分線的方程為.

由知到點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為滿足：

解得：.

故線段的垂直平分線的方程為.

則線段的垂直平分線與線段的垂直平分線的唯一交點(diǎn)坐標(biāo)為.

由（2）①知，當(dāng)時(shí)，

即線段的垂直平分線也經(jīng)過點(diǎn).

所以三邊的“垂直平分線”交于一點(diǎn)，且．