【題目】求最小的正整數(shù)，使得當(dāng)正整數(shù)點時，在前個正整數(shù)構(gòu)成的集合中，對任意總存在另一個數(shù)且，滿足為平方數(shù)．

【答案】7

【解析】

易知當(dāng)時，在中，數(shù)2與其他任何數(shù)之和皆不是平方數(shù)；

以下證明，的最小值為7．

如果正整數(shù)、滿足：平方數(shù)，就稱是一個“平方對”，

顯然在中，，，，為平方對．

在中增加了平方對；

在中平加了平方對．

以下采用歸納法，稱滿足題中條件的為具有性質(zhì)；簡記為．

據(jù)以上知，當(dāng)時，均有．

設(shè)已證得，當(dāng)時，皆有，今考慮情況，利用歸納假設(shè)，只需證，當(dāng)，其中時，均有．

首先，在，即時，構(gòu)成平方對，

這是由于，

而由，知，即．

在時，構(gòu)成平方對，

這是由于，

而，所以．

因此對于滿足的每個，皆有，

從而對所有滿足的正整數(shù)，皆有，

即對一切正整數(shù)，均有．所以的最小值為7．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著“互聯(lián)網(wǎng)+交通”模式的迅猛發(fā)展，“共享自行車”在很多城市相繼出現(xiàn)。某運營公司為了了解某地區(qū)用戶對其所提供的服務(wù)的滿意度，隨機調(diào)查了40個用戶，得到用戶的滿意度評分如下：

用戶編號

評分

用戶編號

評分

用戶編號

評分

用戶編號

評分

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

78

73

81

92

95

85

79

84

63

86

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

88

86

95

76

97

78

88

82

76

89

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

79

83

72

74

91

66

80

83

74

82

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

93

78

75

81

84

77

81

76

85

89

用系統(tǒng)抽樣法從40名用戶中抽取容量為10的樣本，且在第一分段里隨機抽到的評分?jǐn)?shù)據(jù)為92.

（1）請你列出抽到的10個樣本的評分?jǐn)?shù)據(jù)；

（2）計算所抽到的10個樣本的均值和方差；

（3）在（2）條件下，若用戶的滿意度評分在之間，則滿意度等級為“級”。試應(yīng)用樣本估計總體的思想，根據(jù)所抽到的10個樣本，估計該地區(qū)滿意度等級為“級”的用戶所占的百分比是多少？

（參考數(shù)據(jù)：）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】的內(nèi)角、、的對邊分別為，，，點為的中點，已知，，.

（1）求角的大小和的長；

（2）設(shè)的角平分線交于，求的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）

如圖，四棱錐S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點，平面EDC平面SBC .

（Ⅰ）證明：SE=2EB；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如果從北大打車到北京車站去接人，聰明的專家一定會選擇走四環(huán)。雖然從城中間直穿過去看上去很誘人，但考慮到北京的道路幾乎總是正南正北的方向，事實上不會真有人認(rèn)為這樣走能抄近路。在城市中，專家估算兩點之間的距離時，不會直接去測量兩點之間的直線距離，而會去考慮它們相距多少個街區(qū)。在理想模型中，假設(shè)每條道路都是水平或者豎直的，那么只要你朝著目標(biāo)走（不故意繞遠(yuǎn)路），不管你這樣走，花費的路程都是一樣的。出租車幾何學(xué)（taxicab geometry），所謂的“出租車幾何學(xué)”是由十九世紀(jì)的另一位真專家赫爾曼-閔可夫斯基所創(chuàng)立的。在出租車幾何學(xué)中，點還是形如的有序?qū)崝?shù)對，直線還是滿足的所有組成的圖形，角度大小的定義也和原來一樣。只是直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點，定義它們之間的一種“距離”：，請解決以下問題：

（1）定義：“圓”是所有到定點“距離”為定值的點組成的圖形，求“圓周”上的所有點到點的“距離”均為的“圓”方程，并作出大致圖像；

（2）在出租車幾何學(xué)中，到兩點、“距離”相等的點的軌跡稱為線段的“垂直平分線”，已知點，，；

①寫出在線段的“垂直平分線”的軌跡方程，并寫出大致圖像；

②求證：三邊的“垂直平分線”交于一點（該點稱為的“外心”），并求出的“外心”.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】市面上有某品牌型和型兩種節(jié)能燈，假定型節(jié)能燈使用壽命都超過5000小時，經(jīng)銷商對型節(jié)能燈使用壽命進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計，得到如下頻率分布直方圖：

某商家因原店面需要重新裝修，需租賃一家新店面進(jìn)行周轉(zhuǎn)，合約期一年.新店面需安裝該品牌節(jié)能燈5支（同種型號）即可正常營業(yè).經(jīng)了解，型20瓦和型55瓦的兩種節(jié)能燈照明效果相當(dāng)，都適合安裝.已知型和型節(jié)能燈每支的價格分別為120元、25元，當(dāng)?shù)厣虡I(yè)電價為0.75元/千瓦時，假定該店面正常營業(yè)一年的照明時間為3600小時，若正常營業(yè)期間燈壞了立即購買同型燈更換.（用頻率估計概率）

（1）若該商家新店面全部安裝了型節(jié)能燈，求一年內(nèi)恰好更換了2支燈的概率；

（2）若只考慮燈的成本和消耗電費，你認(rèn)為該商家應(yīng)選擇哪種型號的節(jié)能燈，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.在“楊輝三角”中，第行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項，依次構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的前55項和為( )

A. 4072B. 2026C. 4096D. 2048

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓:的左右焦點分別是，拋物線與橢圓有相同的焦點，點為拋物線與橢圓在第一象限的交點，且滿足.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作直線與橢圓交于兩點，設(shè).若，求面積的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列滿足是數(shù)列的前項的和.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若成等差數(shù)列，，18，成等比數(shù)列，求正整數(shù)的值；

（3）是否存在，使得為數(shù)列中的項？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，請說明理由.

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