Question

【題目】如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱SA丄底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中點(diǎn)．

（1）求證：AM∥平面SCD；
（2）求平面SCD與平面SAB所成的二面角的余弦值；
（3）設(shè)點(diǎn)N是直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，MN與平面SAB所成的角為θ，求sinθ的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱SA丄底面ABCD，

AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中點(diǎn)，

∴以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），M（0，1，1），

∴ =（0，1，1）， =（1，0，﹣2）， =（﹣1，﹣2，0），

設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為 =（x，y，z），

則 ，令z=1，得 =（2，﹣1，1），

∵ =0，∴ ，

∵AM平面SCD，∴AM∥平面SCD

（2）解：由題意平面SAB的一個(gè)法向量 =（1，0，0），

設(shè)平面SCD與平面SAB所成的二面角為α，由題意0 ，

則cosα= = = ，

∴平面SCD與平面SAB所成的二面角的余弦值為

（3）解：設(shè)N（x，2x﹣2，0），則 =（x，2x﹣3，﹣1），

∵平面SAB的一個(gè)法向量 =（1，0，0），MN與平面SAB所成的角為θ

∴sinθ=|cos＜ ＞|= =| |

=

= ．

當(dāng) ，即x= 時(shí)，sinθ取得最大值（sinθ）max= ．

【解析】（1）通過建立直角坐標(biāo)系利用平面SCD的法向量，向量數(shù)量積等于零即可證明平行關(guān)系。（2）分別求出平面SCD與平面SAB的法向量，根據(jù)法向量的夾角即可求出。（3）根據(jù)線面角的夾角公式即可得出表達(dá)式，進(jìn)而利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．