Question

【題目】設(shè)公差大于0的等差數(shù)列成等比數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若對(duì)于任意的n∈恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）有條件可求得=2n+1，故，利用裂項(xiàng)相消法求和；（Ⅱ）由恒成立及（Ⅰ）通過分離參數(shù)可得恒成立，由基本不等式求得最值即可得。

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0)，

由=15有3+ =15，化簡(jiǎn)得a1+d=5，①

又 ， ， 成等比數(shù)列，

∴= ，即(+3)2= (+12)，化簡(jiǎn)3=2，②

聯(lián)立①②解得=3， =2，

∴=3+2(n-1)=2n+1．

∴，

∴．

(Ⅱ)由 +11恒成立可得對(duì)于任意的n∈恒成立，

∴對(duì)于任意的n∈，

又≥6 ，當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)等號(hào)成立，

∴≥162，

∴．

∴ 實(shí)數(shù)t的取值范圍為。