【題目】已知函數(shù),其中且,若, 在處切線的斜率為.
(1)求函數(shù)的解析式及其單調(diào)區(qū)間;
(2)若實數(shù)滿足,且對于任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(2).
【解析】試題分析:(1)由導(dǎo)數(shù)幾何意義,結(jié)合,列方程組并解得, ,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律可得函數(shù)單調(diào)區(qū)間,(2)結(jié)合函數(shù)極值點分類討論,確定所在單調(diào)區(qū)間,再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性驗證是否滿足題意,從而求出實數(shù)的取值范圍.
試題解析:(1)由于且,則,
當(dāng)時, ,即,
故,即, ,
因此.
令,則,即在上單調(diào)遞增,
由于,則,
故當(dāng)時, , , 單調(diào)遞減;
當(dāng)時, , , 單調(diào)遞增.
因此的單調(diào)遞減區(qū)間為, 的單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)當(dāng)時,取,則,
由于在上單調(diào)遞增,則,不合題意,故舍去;
當(dāng)時,由抽屜原理可知,則,
若,由于在上單調(diào)遞減,則成立;
若, ,則,
故,
由于,則, (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”)
故(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”)
由于,故上式無法取“=”,
因此恒成立, .
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“共享單車”的出現(xiàn),為我們提供了一種新型的交通方式.某機構(gòu)為了調(diào)查人們對此種交通方式的滿意度,從交通擁堵不嚴(yán)重的城市和交通擁堵嚴(yán)重的城市分別隨機調(diào)查了20個用戶,得到了一個用戶滿意度評分的樣本,并繪制出莖葉圖如圖:
(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖,比較兩城市滿意度評分的平均值的大小及方差的大。ú灰缶唧w解答過程,給出結(jié)論即可);
(Ⅱ)若得分不低于80分,則認(rèn)為該用戶對此種交通方式“認(rèn)可”,否則認(rèn)為該用戶對此種交通方式“不認(rèn)同”,請根據(jù)此樣本完成此列聯(lián)表,并局此樣本分析是否有95%的把握認(rèn)為城市擁堵與認(rèn)可共享單車有關(guān);
(Ⅲ)若此樣本中的城市和城市各抽取1人,則在此2人中恰有一人認(rèn)可的條件下,此人來自城市的概率是多少?
合計 | |||
認(rèn)可 | |||
不認(rèn)可 | |||
合計 |
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在測試中,客觀題難度的計算公式為,其中為第題的難度, 為答對該題的人數(shù), 為參加測試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對某校高三年級120名學(xué)生進(jìn)行一次測試,共5道客觀題.測試前根據(jù)對學(xué)生的了解,預(yù)估了每道題的難度,如下表所示:
題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考前預(yù)估難度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
測試后,從中隨機抽取了10名學(xué)生,將他們編號后統(tǒng)計各題的作答情況,如下表所示(“√”表示答對,“×”表示答錯):
學(xué)生編號 題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | × | √ | √ | √ | √ |
2 | √ | √ | √ | √ | × |
3 | √ | √ | √ | √ | × |
4 | √ | √ | √ | × | × |
5 | √ | √ | √ | √ | √ |
6 | √ | × | × | √ | × |
7 | × | √ | √ | √ | × |
8 | √ | × | × | × | × |
9 | √ | √ | × | × | × |
10 | √ | √ | √ | √ | × |
(Ⅰ)根據(jù)題中數(shù)據(jù),將抽樣的10名學(xué)生每道題實測的答對人數(shù)及相應(yīng)的實測難度填入下表,并估計這120名學(xué)生中第5題的實測答對人數(shù);
題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
實測答對人數(shù) | |||||
實測難度 |
(Ⅱ)從編號為1到5的5人中隨機抽取2人,求恰好有1人答對第5題的概率;
(Ⅲ)定義統(tǒng)計量,其中為第題的實測難度, 為第題的預(yù)估難度.規(guī)定:若,則稱該次測試的難度預(yù)估合理,否則為不合理.判斷本次測試的難度預(yù)估是否合理.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形,,為的中點.
(1)若,求證:;
(2)若,且,點在線段上,試確定點的位置,使二面角大小為,并求出的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況,隨機抽取了名觀眾進(jìn)行調(diào)查,其中女性有名.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖:
將日均收看該體育節(jié)目時間不低于分鐘的觀眾稱“體育述”,已知“體育迷”中名女性.
(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)?
非體育迷 | 體育迷 | 合計 | |
男 | |||
女 | |||
合計 |
(2)將日均收看該體育項目不低于分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”,已知“超級體育述”中有名女性,若從“超級體育述”中任意選取人,求至少有名女性觀眾的概率.
附: ,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)安排甲乙丙丁戊5名學(xué)生分別擔(dān)任語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)學(xué)科的科代表,要求甲不當(dāng)語文科代表,乙不當(dāng)數(shù)學(xué)科代表,若丙當(dāng)物理科代表則丁必須當(dāng)化學(xué)科代表,則不同的選法共有多少種( )
A. 53 B. 67 C. 85 D. 91
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個盒子內(nèi)裝有8張卡片,每張卡片上面寫著1個數(shù)字,這8個數(shù)字各不相同,且奇數(shù)有3個,偶數(shù)有5個.每張卡片被取出的概率相等.
(Ⅰ)如果從盒子中一次隨機取出2張卡片,并且將取出的2張卡片上的數(shù)字相加得到一個新數(shù),求所得新數(shù)是偶數(shù)的概率;
(Ⅱ)現(xiàn)從盒子中一次隨機取出1張卡片,每次取出的卡片都不放回盒子,若取出的卡片上寫著的數(shù)是偶數(shù)則停止取出卡片,否則繼續(xù)取出卡片.設(shè)取出了次才停止取出卡片,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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