如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分別是CE和CF的中點.

（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求證：平面BDGH//平面AEF；
（Ⅲ）求多面體ABCDEF的體積.

（Ⅰ）答案詳見解析；（Ⅱ）答案詳見解析；（Ⅲ）.

解析試題分析：（Ⅰ）∵平面平面，且，由面面垂直的性質定理知平面，該題還可以利用線面垂直的判定定理證明，先證平面，得，又，進而證明平面；（Ⅱ）要證明面面平行，需尋求兩個線面平行關系，由，得平面；設，連接，則，從而平面，進而證明平面平面；（Ⅲ）對于不規(guī)則幾何體的體積問題，可以采取割補的辦法，將之轉化為規(guī)則的幾何體來求，所求幾何體的體積等于.
試題解析：（Ⅰ）證明：因為四邊形是正方形，所以.
又因為平面平面，平面平面，且平面，
所以平面.

（Ⅱ）證明：在中，因為分別是的中點，所以，又因為平面，平面，所以平面.設，連接，在中，因為，，所以，又因為平面，平面，所以平面.
又因為，平面，所以平面平面.
（Ⅲ）解：由（Ⅰ），得平面，，四邊形的面積，
所以四棱錐的體積.同理，四棱錐的體積.
所以多面體的體積
考點：1、直線和平面垂直的判定；2、面面平行的判定；3、幾何體的體積.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知正三棱錐V-ABC的正視圖、側視圖和俯視圖如圖所示.

(1)畫出該三棱錐的直觀圖.
(2)求出側視圖的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，C1C⊥底面ABC，AC＝BC＝CC1＝2，AC⊥BC，點D是AB的中點.

（1）求證：AC1∥平面CDB1；
（2）求三棱錐D－B1C1C的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，底面是菱形，，，,,,是的中點，上的點滿足．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，底面是菱形，，，是的中點，點在側棱上．

（1）求證：⊥平面；
（2）若是的中點，求證：//平面；
（3）若，試求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在長方體中，截下一個棱錐，求棱錐的體積與剩余部分的體積之比．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，正三棱柱ABC-A'B'C'中，D是BC的中點，AA'=AB=2

(1)求證：ADB'D；
(2)求三棱錐A'-AB'D的體積。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD丄CD,AB//CD,AB=AD=CD=2,點M在線段EC上.

(I)當點M為EC中點時，求證: 面;
(II)求證:平面BDE丄平面BEC；
(III)若平面說BDM與平面ABF所成二面角銳角,且該二面角的余弦值為時，求三棱錐M-BDE的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知矩形中，，，將矩形沿對角線把折起，使移到點，且在平面上的射影恰好在上.

（1）求證：；
（2）求證：平面平面；
（3）求三棱錐的體積.

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