Question

如圖,正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD丄CD,AB//CD,AB=AD=CD=2,點(diǎn)M在線段EC上.

(I)當(dāng)點(diǎn)M為EC中點(diǎn)時(shí)，求證: 面;
(II)求證:平面BDE丄平面BEC；
(III)若平面說(shuō)BDM與平面ABF所成二面角銳角,且該二面角的余弦值為時(shí)，求三棱錐M-BDE的體積.

Answer 1

(1)答案詳見(jiàn)解析；（2）答案詳見(jiàn)解析；（3）.

解析
試題分析：（1）要證明直線和平面平行，只需在平面內(nèi)找一條直線，與平面外的直線平行即可，取中點(diǎn)，連結(jié)．可證明四邊形為平行四邊形． 于是，∥，從而證明 面;（2）要證明平面和平面垂直，只需在一個(gè)平面內(nèi)找另一個(gè)平面的一條垂線，由面平面且，可證平面，從而，又可證，故平面，平面平面；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，求兩個(gè)半平面的法向量，然后利用已知二面角的余弦值列方程，從而確定點(diǎn)M的位置，進(jìn)而求三棱錐的體積.

試題解析：（1）證明 取中點(diǎn)，連結(jié)．在△中，分別為的中點(diǎn)，
則∥，且．由已知∥，，因此，∥，且．所以，四邊形為平行四邊形． 于是，∥．又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ed/7/tzsoj3.png" style="vertical-align:middle;" />平面，且平面，
所以∥平面，從而可證.
（2）證明 在正方形中，．又平面平面，平面平面，知平面．所以．在直角梯形中，，，算得．在△中，，可得．故平面．又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3d/f/1cw8p3.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以，平面平面.
（3）按如圖建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合.設(shè)，則